Solido di rotazione numero 201

Calcolo del volume di rotazione del triangolo AoBoC attorno alla retta r:

ΑΒ = √(30^2 + 40^2)----> ΑΒ = 50 cm

Dal 1° th di Euclide:

ΑΗ = 30^2/50----> ΑΗ = 18 cm

ΒΗ = 40^2/50---> ΒΗ = 32 cm

Dal 2° th di Euclide:

CΗ = √(18·32)----> CΗ = 24 cm

Il volume cercato è dato dalla somma dei volumi di due coni:

V = 1/3·(24 + k)^2·pi·32 + 1/3·(24 + k)^2·pi·18

V = 50·pi·(k + 24)^2/3

Calcolo del volume di rotazione del quadrilatero ACBCo attorno alla retta r: 

Il volume di un tronco di cono è dato da:

Quindi calcoliamo due volumi di tronchi di cono:

1/3·pi·32·((24 + k)^2 + k^2 + (24 + k)·k)=

=32·pi·(k^2 + 24·k + 192)

1/3·pi·18·((24 + k)^2 + k^2 + (24 + k)·k)=

=18·pi·(k^2 + 24·k + 192)

Facciamo la loro somma:

32·pi·(k^2 + 24·k + 192) + 18·pi·(k^2 + 24·k + 192) =

=50·pi·(k^2 + 24·k + 192)

ed a tale somma sottraiamo il volume delle due cavità coniche:

1/3·pi·k^2·32 + 1/3·pi·k^2·18 = 50·pi·k^2/3

V =50·pi·(k^2 + 24·k + 192) - 50·pi·k^2/3=

=(50·pi·k^2 + 1200·pi·k + 9600·pi) - 50·pi·k^2/3=

=100·pi·k^2/3 + 1200·pi·k + 9600·pi

V = 100·pi·(k + 12)·(k + 24)/3