[Risolto] Solidi

Un rombo costituisce la base di una piramide retta. Il perimetro del rombo è 30 cm, la diagonale minore misura 9 cm e l'area totale della piramide è 300 cm². Calcola la misura dell'apotema e dell'altezza della piramide.

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Spigolo di base (lato del rombo) $s_b= \dfrac{2p}{4} = \dfrac{30}{4} = 7,5~cm$;

diagonale maggiore $D = 2×\sqrt{7,5^2-\big(\frac{9}{2}\big)^2} = 2×\sqrt{7,5^2-4,5^2}=2×6 = 12~cm$ (teorema di Pitagora moltiplicato due).

area di base $Ab= \dfrac{D·d}{2} = \dfrac{12×9}{2} = 54~cm^2$;

area laterale $Al= At-Ab = 300-54 = 246~cm^2$;

apotema $ap= \dfrac{2·Al}{2p_b} = \dfrac{2×246}{30} = 16,4~cm$ (formula inversa dell'area laterale);

apotema di base (raggio inscritto nel rombo) $ap_b= \dfrac{2·Ab}{2p_b} = \dfrac{2×54}{30}= 3,6~cm$;

altezza $h= \sqrt{ap^2-ap_b^2} = \sqrt{16,4^2-3,6^2} = 16~cm$ (teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo interno al solido i cui cateti sono l'altezza incognita e l'apotema di base mentre l'ipotenusa è l'apotema della piramide).

$l= 30/4$
$l= 7.5$
$ 1/2D= √(1/2d)^2+7.5^2$
$1/2D=√(4.5)^2+(7.5)^2$
$1/2D=√36$
$1/2D=6$
$D=6•2$
$D=12$
$Superficie~di~base=12•9/2$

$Superficie~di~base=54$
$Superficie~laterale= 300-54=246$
Area di un singolo triangolo laterale= $246/4= 61.5$
apotema: $61.5=(7.5•a)/2$
apotema: $123=7.5a$
apotema: $ 16.4$
Per trovare l’altezza della piramide si può applicare Pitagora a uno dei quattro triangoli di base che si formano con l’incrocio delle diagonali:

facendo riferimento alla figura allegata:

proiezione di metà della diagonale minore sull’ipotenusa = $4.5^2/7.5$ primo teorema di Euclide

$proiezione di metà della diagonale minore sull’ipotenusa= 2.7$

$r= √4.5^2-2.7^2$

$r=√12.96$

$r=3.6$

altezza della piramide=

$√16.4^2-3.6^2$

$√256$

$16$

il precedente svolgimento è piuttosto articolato quindi se ci dovesse essere qualcosa che non è chiara basterà chiedere ulteriori spiegazioni