SIstemi letterali

Le risposte suggeriscono di usare il metodo di riduzione o di Gauss.

$ \left\{\begin{align} x+y+2z &=1 \\ x+ay+z &= 2a \\ x+2y &= 2(a+1) \end{align} \right. $

(1°-2° → 2°)

(1°-3° → 3°) 

$ \left\{\begin{align} x+y+2z &=1 \\ (1-a)y+z &= 1-2a \\ -y +2z &= -(2a+1) \end{align} \right. $

((1-a)*3° → 3°) 

$ \left\{\begin{align} x+y+2z &=1 \\ (1-a)y+z &= 1-2a \\ -(1-a)y +2(1-a)z &= (1+2a)(a-1) \end{align} \right. $

(2°-3° → 3°)

$ \left\{\begin{align} x+y+2z &=1 \\ (1-a)y+z &= 1-2a \\ [2(1-a)+1]z &= 1-2a+ (1+2a)(a-1) \end{align} \right. $

dalla terza riga

$ (3-2a)z = 2a^2-3a = -a(3-2a)$

due casi:

i) Se 3-2a ≠ 0 cioè a ≠ 3 / 2 allora $z = \frac{-a(3-2a)}{3-2a} = -a $

da cui segue salendo $ (1-a)y-a = 1-2a \; ⇒ \; y = 1 $

e $ x = 2a$

Quindi per a ≠ 3 / 2 il sistema è possibile e determinato. La soluzione è x = 2a, y = 1, z = -a

ii) se a = 3/2 il sistema diventa

$ \left\{\begin{align} x+y+2z &=1 \\ x+\frac{3}{2}y+z &= 3 \\ x+2y &= 5 \end{align} \right. $

Razionalizziamo la seconda

$ \left\{\begin{align} x+y+2z &=1 \\ 2x+3y+2z &= 6 \\ x+2y &= 5 \end{align} \right. $

(1°-2° → 2°)

(1°-3° → 3°) 

$ \left\{\begin{align} x+y+2z &=1 \\ y-2z &= 4 \\ y-2z &= 4 \end{align} \right. $

Le ultime due righe sono eguali; ne possiamo eliminare una ottenendo

$ \left\{\begin{align} x+y+2z &=1 \\ y-2z &= 4  \end{align} \right. $

Un sistema di 2 equazioni in 3 incognite.

Ricaviamo le ∞¹ soluzioni, Scegliamo z come parametro

dall'ultima $ y = 4+2z$

dalla prima $ x = -3-4z $

In questo caso il sistema è possibile ma indeterminato.