Sistemi con parametro

Il grado di un'equazione a due incognite è la somma degli esponenti maggiori che appartengono ad un solo termine, quindi nel caso della prima equazione:

$x^3y^2+x^2y=1$

il termine con i maggiori esponenti è $x^3y^2$, il grado di questa equazione allora è $2+3=5$.

Il grado di un sistema invece si calcola moltiplicando i gradi di tutte le equazioni che lo compongono. Calcoliamo il grado della seconda equazione:

$x^{n+1}y^n+x^2y^{2n+2}=3$

poniamo $2+2n+2 > n+n+1 \implies 3>0$

quindi il grado dell'equazione è sempre $2n+4$ a prescindere dal valore di $n$. Poniamo il grado del sistema uguale a $100$, allora $5(2n+4)=100$, quindi il grado della seconda equazione è $2n+4=\frac{100}{5} = 20$

$2n+4=20$

$n=8$.

Il grado di un sistema è pari al prodotto dei gradi delle equazioni che lo costituiscono.

Il grado di una equazione è pari al massimo dei gradi che compongono l'equazione.

1° Prima equazione. Il grado della prima equazione è uguale a 5 (3+2)

2° Seconda equazione. 

Il grado del sistema è 100 se il grado della 2° è pari a 20.

Verifichiamo se è possibile avere tale grado, cioè ð=20

• termine $ x^{n+1}y^n \; ⇒ \;  n(n+1) = 20 \; ⇒ \; n^2+n-20 = 0 \; ⇒ \; n = 4$
• termine $ x^2y^{2n+2} \; ⇒ \; 2(2n+2) = 20 \; ⇒ \; 2n+4=20 \; ⇒ \; 2n = 16 \; ⇒ \; n = 8 $
• Il max tra i due casi è n = 8.