Risolvi il sistema con il metodo di RIDUZIONE.
Risolvi il sistema con il metodo di RIDUZIONE.
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Livello 2
Problema:
Risolvere il seguente sistema tramite il metodo di riduzione di Gauss:
$\{ \frac{3(x-y+\frac{1}{2})}{2}+2=\frac{4(x-y+\frac{1}{2})}{3}+\frac{7}{3}, \ \ \frac{3(x-y+\frac{1}{2})}{2}-2=\frac{8(x+\frac{1}{4})+4(y-\frac{1}{4})}{7}$
Soluzione:
Il sistema scritto in forma semplificata è:
\[
\left\{
\begin{aligned}
x - y &= \frac{3}{2} \\
10x - 58y &= 39
\end{aligned}
\right.
\]
Per ridurre un sistema tramite Gauss è necessario riscriverlo sottoforma di matrice:
\[
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & -1 & \frac{3}{2} \\
10 & -58 & 39
\end{array}
\right)
\]
Generalmente questo metodo si insegna nei corsi universitari di Algebra Lineare o Geometria, però altro non è che il classico metodo di addizione e sottrazione insegnato alle superiori; si evita soltanto di riscrivere ogni lettera. Per ottenere la matrice si inseriscono tutti i coefficienti della x nella prima colonna, tutti i coefficienti della y nella seconda colonna e così via dicendo. L'obiettivo è ottenere una scaletta di zeri che semplifichi il più possibile il sistema.
Si applicano le seguenti operazioni elementari per ridurre il sistema alla forma triangolare superiore:
Scambio di righe: Permette di scambiare due righe del sistema.
\[
R_i \leftrightarrow R_j
\]
Moltiplicazione di una riga per un numero non nullo: Ogni riga può essere moltiplicata per una costante non nulla.
\[
R_i \rightarrow k \cdot R_i \quad \text{(con $k \neq 0$)}
\]
Sostituzione tra righe: Una riga può essere modificata aggiungendo o sottraendo un multiplo di un'altra riga.
\[
R_i \rightarrow R_i - m \cdot R_j \quad \text{(ove $m$ è un numero)}
\]
L'obiettivo è trasformare il sistema in una matrice triangolare superiore, risolvendo le incognite per sostituzione all'indietro.
Matrice triangolare superiore:
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\
0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
\]
Ad esempio: \[
\begin{pmatrix}
11 & 12 & 1 & 4 \\
0 & 2 & 23 & 4 \\
0 & 0 & 33 & 34 \\
0 & 0 & 0 & 4
\end{pmatrix}
\]
Nota: esiste anche la triangolare inferiore con gli zeri sopra.
Generalmente è comodo ricondursi ad una matrice diagonale (Gauss-Jordan), ossia qualcosa del tipo:
\[
\begin{pmatrix}
d_1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & d_2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & ... & 0 \\
0 & 0 & 0 & d_n
\end{pmatrix}
\] come viene mostrato nell'esercizio proposto.
Per eliminare \( x \) dalla seconda riga, si esegue l'operazione: $ R_2 - 10R_1 \to R_2$
\[
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & -1 & \frac{3}{2} \\
0 & -48 & 24
\end{array}
\right)
\]
Per semplificare ulteriormente, si divide la seconda riga per \(-48\): $ \frac{1}{-48} R_2 \to R_2$
\[
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & -1 & \frac{3}{2} \\
0 & 1 & -\frac{1}{2}
\end{array}
\right)
\]
Per eliminare \( y \) dalla prima riga, si esegue: $ R_1 + R_2 \to R_1$
\[
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -\frac{1}{2}
\end{array}
\right)
\]
La soluzione del sistema è quindi:
\[
\begin{cases}
x = 1 \\
y = -\frac{1}{2}
\end{cases}
\]
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Livello 6
@rebc Ottimo rebc, grazie!