In un triangolo rettangolo $A B C$, il cateto $A B$ misura $12 a$ e l'ipotenusa $B C$ misura $20 a$. La perpendicolare a $B C$, condotta da un punto $D$ appartenente a $B C$, interseca $A C$ in $E$. Sapendo che l'area di $A B D E$ è il triplo dell'area del triangolo $D E C$, determina la distanza di $D$ da $C$.
$[8 a]$
170
punti
Livello 0
1785
punti
Livello 3
In unità di 4*a per le misure lineari e di 16*a^2 per quelle di superficie, con
* a = |BC| = 5
* b = |AC| = 4
* c = |AB| = 3
* x = |CD|
* y = |DE|
* z = |CE|
* k = x/b = y/c = z/a ≡ k = x/4 = y/3 = z/5
si ha
* S(ABC) = b*c/2 = 6
* S(CDE) = x*y/2 = b*k*c*k/2 = S(ABC)*k^2 = 6*k^2
* S(ABDE) = 3*S(CDE) = S(ABC) - S(CDE) ≡
≡ 3*6*k^2 = 6 - 6*k^2 ≡
≡ k = 1/2
da cui
* x = b*k = 4/2 = 2 = 8*a
che è proprio il risultato atteso.
57798
punti
Genius I
