Sfida per timorosi: Buchi neri

Ultimamente sto testando le potenzialità di GPT nello studio, ho notato che riesce a creare dei quesiti molto interessanti per esercitarsi, anche su tematiche particolarmente stimolanti. Ecco dunque un modello d'esame che mi è piaciuto molto per esercitarmi in vista del mio esame di Elementi di Analisi Reale.

Conoscenze richieste: operatori di contrazione, teorema di Banach-Caccioppoli, serie di Taylor, equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine.

Problema:

Una sonda orbita attorno a un buco nero. Il suo moto radiale può essere descritto con un modello matematico semplificato, che include:

• una funzione di equilibrio (distanza stabile),

• un’equazione differenziale del secondo ordine per piccole oscillazioni,

• una dinamica iterativa che mostra un comportamento attrattivo.

PARTE 1: Distanza di equilibrio come punto fisso

(a) Considera l’operatore:

$T(r) = \sqrt{\frac{GM}{r} + C}$

dove:

• $G$ è la costante di gravitazione universale,

• $M$ è la massa del buco nero,

• $C$ è una costante legata all’energia totale della sonda,

• $r$ è la distanza radiale della sonda dal buco nero.

Mostra che $r = T(r)$ è equivalente a risolvere:

$r^2 = \frac{GM}{r} + C$

e che si tratta di un’equazione algebrica di terzo grado.

(b) Fissa $GM = 1$, $C = 2$, e considera $T$ sull’intervallo $[1, 2]$.
Mostra che $T$ è una contrazione su questo intervallo.
Suggerimento: calcola la derivata $T'(r)$ e usa un massimo su $[1, 2]$ per stimare la costante di Lipschitz.

Parte 2 – Oscillazioni attorno all’equilibrio

(c) Definisci $r(t) = r_0 + x(t)$ con $x(t) \ll 1$.
Sviluppa in serie di Taylor e ricava un’EDO del tipo:

$\ddot{x}(t) + \omega^2 x(t) = 0$

Suggerimento: pensa alla forza radiale come $F(r) = -\frac{GM}{r^2}$.
Sviluppa $F(r_0 + x)$ al primo ordine usando:

$F(r_0 + x) \approx F(r_0) + F'(r_0) \cdot x$

e ricorda che $F(r_0) = 0$ se $r_0$ è un equilibrio. Ricava così l’EDO lineare per $x(t)$.

(d) Risolvi l’EDO con condizioni iniziali $x(0) = A$, $\dot{x}(0) = 0$, e scrivi la traiettoria orbitale $r(t)$.

Parte 3 – Iterazione e attrattore

(e) Calcola numericamente:

$r_{n+1} = T(r_n) = \sqrt{\frac{1}{r_n} + 2}$

con $r_0 = 2$, per almeno 6 iterazioni. Mostra la convergenza a un valore $r^* \in [1, 2]$.

(f) Disegna un grafico qualitativo (a mano libera) dei valori $r_0, r_1, r_2, \dots, r_6$ su un asse temporale (asse $x$: iterazione $n$, asse $y$: valore di $r_n$).
Spiega come si vede graficamente che $r^$ è un attrattore della dinamica.
Suggerimento: evidenzia visivamente che i punti si avvicinano a un valore stabile. Il grafico dovrebbe "appiattirsi" attorno a $r^*$.

(g) Interpreta il significato fisico: cosa rappresenta $r^*$?
Cosa succede all’orbita della sonda nel tempo?

Tempo stimato per lo svolgimento: