[Risolto] Serie di potenze

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{n}\cdot n}(2x-1)^{n}$

Trasformiamola in forma standard

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{n}\cdot n}\cdot 2^{n}(x-\frac{1}{2})^{n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}(x-\frac{1}{2})^n$ 

il centro è in $x_0=\frac{1}{2}$

Raggio di convergenza  $\frac{(-1)^{n}}{n}$

applichiamo il test del rapporto

$\frac{|a_{n+1}}{a_{n}}|=|\frac{1}{n+1} \cdot \frac{n}{1}|=\frac{n}{n+1}$

ne facciamo il limite

$\lim_{n \for +\infty} \frac{n}{n+1}=1$ 

Dominio di convergenza

$|x-\frac{1}{2}|<1 \rightarrow -\frac{1}{2}< x < \frac{3}{2}$

Studio agli estremi dell'intervallo

$x=-\frac{1}{2} \qquad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)}{n}(-1)^n =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}$ serie armonica, quindi diverge

$x=\frac{3}{2} \qquad x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$  $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n} $  converge per Leibniz.

Concludiamo che il dominio di convergenza della serie di potenze  è

$x \in (-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$

Spero di non aver fatto errori...ciao.

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}(2^n-(-1)^n)}{n}\cdot x^n$

è già scritta come serie di potenze  $\sum a_n x^n$

con $a_n=\frac{(-1)^{n-1}(2^n-(-1)^n)}{n}$

Uso il criterio del rapporto per trovare il raggio di convergenza R

$\lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$

$(-1)^n$ è trascurabile rispetto a $2^n$, quindi posso approssimare  $a_n \approx \frac{2^n}{n}$

$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot \frac{n}{2^n}|=\frac{2n}{n+1} \qquad \lim_{n \to \infty}  \frac{2n}{n+1} =2$  quindi $R=\frac{1}{2}$

La serie converge per $|x|<\frac{1}{2} \qquad -\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}$

Intervallo di convergenza  $x \in (-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

Agli estremi dovrebbe essere $x \in (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$

Somma della serie

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}(2^n-(-1)^n)}{n}\cdot x^n$

spezzo in due parti

$\sum_{n=1}^{+\infty} [\frac{(-1)^{n-1}2^n}{n}x^n-\frac{(-1)^{n-1}\cdot (-1)^n}{n}x^n]$

$\sum_{n=1}^{+\infty} [\frac{(-1)^{n-1}2^n}{n}x^n+\frac{1}{n}x^n]$

riconosco lo sviluppo di Taylor della funzione $ln(1+x)$

prima serie: $-ln(1+2x)$ con $|2x|<1$

seconda serie: $-ln(1-x)$ con $|x|<1$

sommiamo: $-ln(1+2x)-ln(1-x) \rightarrow  -ln(1+2x)(1-x) =-ln(1+x-2x^2)$

per $|x| < \frac{1}{2}$ la serie converge e la somma è  $-ln(1+x-2x^2)$.