Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
y = a·e^(2·(x - 1))
y = (x + b)/x^2
Le due funzioni nel loro punto di intersezione devono avere la stessa derivata.
Per x = 1 si ha:
{y = a·e^(2·(1 - 1))
{y = (1 + b)/1^2
quindi:
{y = a
{y = b + 1
Deve essere: a = b + 1
---------------------------------
y = a·e^(2·(x - 1))-----> y' = 2·a·e^(2·x - 2)
y = (x + b)/x^2----> y' = - (x + 2·b)/x^3
per x=1:
2·a·e^(2·1 - 2) = 2·a
- (1 + 2·b)/1^3 = - 2·b - 1
quindi:
2·a = - 2·b - 1
Mettiamo a sistema le due condizioni in grassetto:
{a - b = 1
{a + b = - 1/2
risolvo ed ottengo: [a = 1/4 ∧ b = - 3/4]
[1, 1/4] è il punto comune
Il coefficiente angolare della retta tangente comune è:
m = 2·1/4·e^(2·1 - 2) = 1/2
retta tangente: y - 1/4 = 1/2·(x - 1)
y = x/2 - 1/4
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Genius III