Le probabilità che uno dei relè nella figura sottostante non si chiuda quando dovrebbe sono 2p per i rele 1, 2 e 3 e p per il rele 4. Si assuma che tutti i relè funzionino in modo indipendente.
Qual è la probabilità che passi corrente tra ali estremi A e B del circuito?
16
punti
Livello 0
E' la probabilità di corretto funzionamento
Pr [E*] = Pr [X1] é Pr [ X4 V (X2 & X3 ) ] =
= (1 - 2p) * [(1 - 2p)^2 + (1 - p) - (1 - p)*(1- 2p)^2 ] =
= (1 - 2p) * [ (1 - 2p)^2 * p + 1 - p ] =
= (1 - 2p) [ p - 4p^2 + 4p^3 + 1 - p ] =
= ( 1 - 2p ) ( 1 - 4 p^2 + 4 p^3 )
Nello sviluppo si é utilizzato il fatto che
Pr [ A U B ] = Pr[A] + Pr[B] - Pr[A & B] = Pr [A] + Pr [B] - Pr[A]*Pr[B]
se A e B sono indipendenti
58353
punti
Livello 7
Facendo la somma si ottiene:
(1 - 2·p)^3·(1 - p) +
+(1 - 2·p)^3·p +
+(1 - 2·p)^2·2·p·(1 - p) +
+(1 - 2·p)^2·2·p·(1 - p) +
+(1 - 2·p)·(2·p)^2·(1 - p) =
=(1 - 2·p)·(4·p^3 - 4·p^2 + 1)
115507
punti
Genius III
CAAC -> (1-2p)*2p*2p*(1-p)
CCCA -> (1-2p)*(1-2p)*(1-2p)*p
CCCC -> (1-2p)*(1-2p)*(1-2p)*(1-p)
CCAC -> (1-2p)*(1-2p)*2p*(1-p) CACC -> (1-2p)*2p*(1-2p)*(1-p)
Quindi
(1-2p)*[2p*2p*(1-p) + (1-2p)*(1-2p)*p + (1-2p)*(1-2p)*(1-p) + (1-2p)*2p*(1-p) + 2p*(1-2p)*(1-p)]
(1-2p)*[4p² - 4p³ + p - 4p² + 4p³ + 1 - 4p + 4p² - p + 4p² - 4p³ + 2p - 6p² + 4p³ + 2p - 6p² + 4p³ ]
(1-2p)*[ 1 - 4p² + 4p³ ]
943
punti
Livello 2
