Quanto misura il lato l ?

Dal teorema del coseno $\ell^2 = 4x^2+x^2-2\cdot 2x \cdot x \cdot \cos(120^{\circ}) \implies \ell^2 = 4x^2+x^2+2x^2 = 7x^2 \implies \ell = x\sqrt{7}$. Detto $\alpha$ l'angolo $\widehat{ABC}$, per differenza si ottiene che $\widehat{BDC}=120^{\circ}-\alpha$. Applichiamo il teorema del coseno sull'angolo $\alpha$ di $ABC$ sapendo che $\ell^2=7x^2$:

$4x^2=x^2+7x^2-2\cdot \sqrt{7}x^2\cos(\alpha)$

Dividendo tutto per $x^2 \neq 0$ si ottiene:

$\cos(\alpha)=\dfrac{2}{\sqrt{7}}$

Applicando l'identità fondamentale della goniometria:

$\sin(\alpha)=\sqrt{1-\dfrac{4}{7}}=\sqrt{\dfrac{3}{7}}$

Applichiamo il teorema dei seni su $BCD$ per trovare $x$:

$\dfrac{2}{\sin(\alpha)}=\dfrac{x}{\sin(120^{\circ}-\alpha)}$

Ricordo che $\sin(120^{\circ}-\alpha)=\sin(180^{\circ}-(120^{\circ}-\alpha))=\sin(60^{\circ}+\alpha)$.

Con la formula di addizione:

$\sin(60^{\circ}+\alpha)=\sin(60^{\circ})\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cos(60^{\circ})=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{7}} + \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{\dfrac{3}{7}}=\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3}{7}}$.

Sostituiamo:

$\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{3}{7}}}=\dfrac{x}{\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3}{7}}} \implies x=3$.

Sapevamo che $\ell= x\sqrt{7}$, quindi $\ell = 3\sqrt{7}$.