[Risolto] Punti di non derivabilità

Retta t e retta s

[-1, 2] e [0, -1]

(y - 2)/(x + 1) = (-1 - 2)/(0 + 1)

(y - 2)/(x + 1) = -3------> y = - 3·x - 1 retta t

[1, 4] e [2, 6]

(y - 4)/(x - 1) = (6 - 4)/(2 - 1)

(y - 4)/(x - 1) = 2-----> y = 2·x + 2 retta s

Determino a e b

LIM(a·x^3 + b·x^2) =a+b

x---> 1-

a + b = 4 dovendo l'altra componente essere pari a 4 in [1,4]

3·a·(-1)^2 + 2·b·(-1) = -3 (coefficiente angolare retta t in x=-1)

3·a - 2·b = -3

Risolvo:

{a + b = 4

{3·a - 2·b = -3

ed ottengo: [a = 1 ∧ b = 3]

Determino c e d

c·1^2 + d·1 + 1 = 4----> c + d = 3

(seconda componente passa da [1,4])

y' = 2·c·x + d

per x=1: y'=2 (coefficiente angolare retta s in [1,4]

{c + d = 3

{2·c + d = 2

risolvo ed ottengo: [c = -1 ∧ d = 4]

y=

{x^3 + 3·x^2   per x < 1

{- x^2 + 4·x + 1   per x ≥ 1

Punti stazionari e verifica punto angoloso C [1,4]

1^ componente:

y' =0

3·x^2 + 6·x = 0----> 3·x·(x + 2) = 0

x = -2 ∨ x = 0

y=(-2)^3 + 3·(-2)^2----> y = 4

[-2, 4] è di max relativo:

y''=6·x + 6 per x = -2:

y''= 6·(-2) + 6---> -6 < 0

0^3 + 3·0^2 = 0

[0,0] è di min relativo:

y''= 6·0 + 6= 6 >0

la seconda componente ha un max relativo:

y' =0---> 4 - 2·x = 0---> x = 2

y=- 2^2 + 4·2 + 1= 5

y''= -2 < 0 in [2,5]

verifica punto angoloso in C

f'(x^3 + 3·x^2)  in x = 1 si ha:

f'=3·x^2 + 6·x

f'(1)= 3·1^2 + 6·1= 9 

9 ≠ 2 (coefficienti angolari diversi)

Determinazione di P

Il punto P deve appartenere alla 1^ componente in quanto la seconda ha coefficiente angolare >2

P [x, x^3 + 3·x^2]

y'=m=3·x^2 + 6·x

Deve essere:

x^3 + 3·x^2 = (3·x^2 + 6·x)·x

x^3 + 3·x^2 = 3·x^3 + 6·x^2

3·x^3 + 6·x^2 - (x^3 + 3·x^2) = 0

2·x^3 + 3·x^2 = 0

x^2·(2·x + 3) = 0

x = - 3/2 ∨ x = 0

Quindi: x = - 3/2

[- 3/2, (- 3/2)^3 + 3·(- 3/2)^2]

P [- 3/2, 27/8]