Proiettile

Un proiettile sparato orizzontalmente con una velocità V di 200 m/sec da una posizione elevata colpisce un obiettivo posto a una distanza d di 1,3km

Determina l'altezza h da cui è stato sparato

tempo t = d/V = 1300/200 = 6,5 sec 

altezza h = g/2*t^2 = 4,903*6,5^2 = 207,2 m

@luigi2

Il moto parabolico è la composizione di due moti:

1)rettilineo uniforme lungo l'asse x 

2)rettilineo uniformemente accelerato lungo l'asse y.

Scelta come origine spaziale il piede della perpendicolare condotta dal punto di sparo sul terreno:

Il proiettile è sparato con velocità orizzontale. La componente della velocità iniziale lungo l'asse y è quindi nulla.

Possiamo quindi scrivere le leggi del moto:

{x= v0_x * t

{s= s0 - (1/2)*g*t²

Ricaviamo dalla prima equazione il tempo, imponendo nella seconda la condizione s=0 (impatto del proiettile con la terra). Quindi:

{t= x/ v0_x 

{s0 = (1/2)*g*(x/v0_x)²

Sostituendo i valori numerici otteniamo:

s0= (1/2)*9,806*(1300/200)² = 207,15 m

Tempo di volo

T = D/vox = 1300/200 s = 6.5 s

La velocità vo è diretta lungo x, voy = 0

H - g/2 T^2 = 0

H = 4.9*6.5^2 m = 4.9*42.25 m = 207.15 m. 

A 200 m/s = 720 km/h il moto parabolico di un proiettile te lo puoi anche sognare!
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Un punto materiale lanciato dal punto Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) in un campo gravitazionale con accelerazione g < 0 ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (vx(t), vy(t)) data da
* vx(t) = V*cos(θ)
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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Con il valore standard SI per g, e con i dati del testo
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
* V = 200 m/s
* θ = 0
si ha
* x(t) = 200*t
* y(t) = h - (196133/40000)*t^2
da cui la traiettoria
* Γ ≡ y = h - (196133/16*10^8)*x^2
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Tutti e soli i punti (fra cui "un obiettivo posto a una distanza di 1,3km") distanti 1300 m da Y(0, h) costituiscono la circonferenza
* x^2 + (y - h)^2 = 1300^2
che interseca la traiettoria nel punto-bersaglio T con
* xT = (400000/196133)*√(√70501117973441 - 8000000) ~= 1284.2 m
* yT = h - (100/196133)*√(√70501117973441 - 8000000) ~= h - 0.321 m
in quanto un tiro teso (con alzo zero) e veloce (720 km/h) su una distanza così breve (1300 m) ha un calo minimo (~ 1/3 m) e pressoché trascurabile (~ 0.02%).
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"Determina l altezza da cui è stato sparato"
BELLA PRETESA!
Con le parole con cui è stato formulato l'esercizio il problema si presenta indeterminato.
Per determinarlo occorre aggiungere ABUSIVAMENTE ulteriori dati.
I miei amici di penna e coresponsori @Remanzini_Rinaldo @StefanoPescetto @EidosM hanno scelto l'ipotesi aggiuntiva d'intendere il testo come se fosse stato scritto
* «... a una distanza AL SUOLO di 1,3 km DAL PIEDE DELLA VERTICALE DELLA BOCCA DA FUOCO.»
ed hanno risposto "h ~= 207.15 m"; io ne scelgo una più modesta: intendere il testo come se fosse stato scritto
* «... un obiettivo posto AL SUOLO a una distanza di 1,3 km»
e ti rispondo "h ~= 32 cm".
Bada bene che sono risposte ENTRAMBE ERRATE, da bocciatura all'esame in quanto basate su semplificazioni non autorizzate. Se fosse una domanda trabocchetto e l'esaminatore si attendesse esclusivamente la risposta "PROBLEMA INDETERMINATO", l'unica corretta?
Mi sembra che non sia un caso che l'utente @mg (ex professoressa di fisica!) si sia ben guardata dall'intervenire.
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ULTERIORI AVVERTENZE UTILI
Quello che ho scritto fin qui è lo svolgimento di un esercizio di algebra e geometria, non di fisica (perciò ho scritto "punto materiale" al posto di "proiettile").
In fisica un proiettile percorre una traiettoria balistica, essenzialmente diversa da una parabola. Parlare di "proiettile" tira in ballo Balistica Esterna e Alta Matematica: cose che conviene lasciar perdere! Di solito non si ha una soluzione simbolica ai problemi di tiro, ma li si deve risolvere con metodi grafico-numerici.
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NOTA STORICA
Durante la prima guerra mondiale moltissimi fanti italiani, in trincee di montagna, furono massacrati dall'artiglieria italiana che usava in montagna le formule del moto parabolico o, ben che andasse, le "Tavole di Tiro" del Siacci calcolate per il tiro teso in pianura.
Quando un generale un po' meno criminale degli altri si rese conto che le traiettorie balistiche sono una cosa seria, incaricò il sottotenente Mauro Picone di calcolare nuove Tavole adatte anche al tiro a mortaio in montagna: dopo qualche mese di calcoli il fuoco amico smise di fare troppe vittime e le statistiche migliorarono un po'.
Nessuno di quei generali fu mai fucilato: i Reali Carabinieri fucilavano a gogò capitani comandanti di tiro e caporali artiglieri.

Equazioni del moto parabolico, con velocità orizzontale vx; velocità verticale voy = 0 m/s, da altezza iniziale yo,  in assenza di attrito:

x = vx * t;

y = 1/2 g t^2 + yo;

vy = g * t;

tempo di volo t = gittata / vx;

t = 1300 / 200 = 6,5 s;

moto verticale: arriva a terra y = 0 m, nel tempo t = 6,5 s;

y = 0 m;

1/2 * (-9,8) * t^2 + yo = 0;

yo = 4,9 * 6,5^2 = 207 m; altezza di lancio del proiettile.

Ciao @luigi2

Tempo di caduta = tempo di traslazione $t= \frac{L}{v} = \frac{1300}{200} = 6,5~s$;

altezza $h= \frac{g×t^2}{2} = \frac{9,8066×6,5^2}{2} = 207,16~m$.

Naturalmente sono calcoli di ambito teorico.

Non a caso non sono io l'esperto di fisica.

Comunque, essendo la scelta del modello non univocamente determinata, anche introdurre la classica resistenza del mezzo f = - k v sarebbe arbitrario. L'esponente di v si determina sperimentalmente e non é detto che sia 1.Già se lo fosse, un'equazione differenziale del primo ordine pur lineare potrebbe essere troppo per il povero studente.