problemi prismi

problema 1 

Un prisma retto ha per base un trapezio rettangolo che ha la differenza delle misure del lato obliquo lo e dell'altezza h è di 5,5 dam, il loro rapporto è di 5/4 e la base minore b è lunga 41 dam; sapendo che l'altezza H del prisma misura 28 dam, calcola l'area della superficie totale del prisma.

é un prismone !! (1 dam = 10 metri)

base 

lo/h = 5/4

lo = 5h/4

5h/4-h = 5,5 

h/4 = 5,5

h = 5,5*4 = 22 dam

lo = 5h/4 = 5,5*5 = 27,5 dam 

differenza basi (B-b) = √lo^2-h^2 = √27,5^2-22^2 = 16,50 dam 

base maggiore B = b+(B-b) = 41+16,50 = 57,50 dam 

perimetro 2p = B+b+h+lo = 57,50+41+22+27,50 = 148,0 dam

superficie laterale Al = 2p*H = 148*28 = 4.144 dam^2

area basi Ab = (B+b)*h = (57,50+41)*22 = 2.167 dam^2

superficie totale At = Al+Ab = 4.144+2.167 = 6.311 dam^2

problema 2 

Un prisma retto, che ha per base un pentagono regolare, ha l'area della superficie laterale Al di 480 cm^2; sapendo che l'altezza h è 3/2 dello spigolo di base S (lato del pentagono) , calcola l'area della superficie totale At ed il volume V.

Al = 480 = perimetro*altezza = 5S*3S/2 = 15*S^2/2

S = √2Al/15 = √960/15 = 8,0 cm 

h = 3S/2 = 24/2 = 12 cm 

perimetro 2p = 5*S = 5*8 = 40 cm

calcolo apotema ap :

(S/2)/ap = tan (360/10) = 0,72654

ap = 2,5/0,72654 = 3,4410 cm 

area di base Ab = 2p*ap / 2 = 20*3,4410 = 68,820 cm^2

Superficie totale At = Al+2Ab = 68,82*2+480 = 617,64 cm^2

Volume V = Ab*h = 68,82*12 = 825,84 cm^3 

Un problema per volta! Non si rispetta il regolamento!!!

Ciao!

Risolvo il problema 1

Chiamo:

• "a" il lato obliquo del trapezio
• "c" il lato opposto a quello obliquo
• "b" la base minore
• "B" la base maggiore
• "θ" l'angolo compreso tra a e B
• "k" il segmento corrispondente alla proiezione di a su B
• "w" l'altezza del trapezio che chiude il rettangolo di lati b, (B-k), c. (Ovviamente w = c, perché il trapezio è rettangolo, ma sarà comunque utile distinguerli)
• "h" l'altezza del prisma
• "Stot" la superficie totale

L'incognita "finale" è la superficie totale del prisma, che sarà data dalla somma delle aree delle sue facce (comprese le basi). La formula che vorremo applicare è quindi:

    Stot = {[(B+b)*c]/2} * 2 + (a * h) + (b * h) + (c * h) + (B * h)

che semplificando equivale a:

    Stot = (B+b) * c + h * (a + b + c + B)

Notare che ancora non conosciamo il valore di a, c e B.

Per trovare il valore metrico di a e c, risolvo un sistema a due equazione e due incognite, fornite entrambe nel testo dell'esercizio. Le equazioni da mettere a sistema sono:

     a - c = 5,5 dam

     a/c = 5/4

Una volta risolto (è semplice con il metodo di sostituzione) otterrò che a= 27,5 dam e c= 22 dam.

A questo punto bisogna trovare il valore di B. Per farlo sfruttiamo il fatto che essendo il trapezio rettangolo la base maggiore è uguale alla somma della base minore e della proiezione del lato obliquo sulla base maggiore.

    B = b + k

Per conoscere il valore di k dobbiamo utilizzare delle semplici formule trigonometriche, che prima ci permettono di ottenere il valore dell'angolo θ e poi di utilizzare tale valore per calcolare k.

Si può facilmente dedurre che il triangolo formato da w, k, a è rettangolo, per cui vale la seguente relazione trigonometrica:

   w = a * senθ

invertendo la formula:   senθ = w/a  , ma essendo w chiaramente uguale a c:

  senθ = c/a = 5/4       come nel testo del problema

quindi

   θ = arcsen 5/4 = 53° ca. 

Ora che abbiamo θ, possiamo calcolare k e B:

   k = a * cosθ = 27,5 dam * 0,6 = 16,5 dam

   B = b + k = 41 dam + 16,5 dam = 57,5 dam

Ora conosco tutto il necessario per calcolare la superficie totale del prisma e applicando la formula scritta all'inizio otterrò che:

 Stot = 6311 dam^2

Spero di non aver fatto errori e di esserti stato utile.