L'equazione
* Γ(k) ≡ (k + 1)*x^2 + 2*k*y^2 = k - 3
nei tre casi particolari rappresenta coniche diverse.
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Per k = - 1, una parabola degenere in una coppia di parallele reali.
* Γ(- 1) ≡ y^2 = 2 ≡ (y + √2)*(y - √2) = 0
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Per k = 0, una parabola degenere in una coppia di parallele immaginarie.
* Γ(0) ≡ x^2 = - 3
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Per k = 3, un'iperbole degenere sui suoi asintoti immaginarii.
* Γ(3) ≡ y^2 = - 2*x^2/3
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Nel caso generale, k non in {- 1, 0, 3}, si ha
* Γ(k) ≡ (k + 1)*x^2 + 2*k*y^2 = k - 3 ≡
≡ x^2/((k - 3)/(k + 1)) + y^2/((k - 3)/(2*k)) = 1
che rappresenta una
a) circonferenza per 0 < (k - 3)/(2*k) = (k - 3)/(k + 1) ≡ impossibile
b) ellisse con fuochi sull'asse y per 0 < (k - 3)/(k + 1) < (k - 3)/(2*k) ≡ impossibile
c) ellisse con fuochi sull'asse x per 0 < (k - 3)/(2*k) < (k - 3)/(k + 1) ≡
≡ (k < - 1) oppure (k > 3)
quindi con
* semiasse maggiore a = √((k - 3)/(k + 1))
* semiasse minore b = √((k - 3)/(2*k))
* semidistanza focale c = √(a^2 - b^2) = √((k - 1)*(k - 3)/(2*(k + 1)*k))
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Si ottiene il fuoco richiesto per
* (√((k - 1)*(k - 3)/(2*(k + 1)*k)) = √(15/2)) & ((k < - 1) oppure (k > 3)) ≡
≡ ((k = - 3/2) oppure (k = 1/7)) & ((k < - 1) oppure (k > 3)) ≡
≡ k = - 3/2
da cui
* Γ(- 3/2) ≡ (x/3)^2 + (y/√(3/2))^2 = 1 ≡ x^2 + 6*y^2 = 9
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Stante la simmetria quadrantale dei vertici di ogni rettangolo inscritto per identificare quelli del rettangolo di massimo perimetro basta simmetrizzare quel punto P(x, √((9 - x^2)/6)) per il quale, nell'intervallo 0 < x < 3, sia massima la somma delle coordinate.
Si ha
* s(x) = x + √((9 - x^2)/6)
* s'(x) = 1 - x/√(6*(9 - x^2))
* s''(x) = - 3*√(3/2)/(9 - x^2)^(3/2)
con cui si scrive la condizione di massimo
* (s'(x) = 0) & (s''(x) < 0) & (0 < x < 3) ≡
≡ (1 - x/√(6*(9 - x^2)) = 0) & (- 3*√(3/2)/(9 - x^2)^(3/2) < 0) & (0 < x < 3) ≡
≡ x = 3*√(6/7)
e quindi i quattro vertici
* V(± 3*√(6/7), ± √(3/14))
