Problemi di ottimizzazione con derivate

Il punto P ha coordinate  (xP, 4xP^2 + 1)

e la tangente corrispondente é y - yP = 8xP (x - xP)

Per la gamma2 invece y' = 2/3 x - 1

e quindi il punto R, in base alla traccia, é quello per cui

2/3 xR - 1 = 8xP

2/3 xR = 8xP + 1

xR = 3/2 (8xP + 1)

Sostituendo in gamma2

yR = 1/3 xR^2 - xR =

= 1/3 * 9/4 (8xP + 1)^2 - 3/2 (8xP + 1) =

= 3/4 (64xP^2 + 16xP + 1) - 12xP - 3/2 =

= 48 xP^2 + 12 xP + 3/4 - 12 xP - 3/2 =

= 48 xP^2 - 3/4

 

|yR - yP | = | 48 xP^2 - 3/4 - 4xP^2 - 1 | =

= | 44 xP^2 - 7/4 |

il minimo assoluto si ottiene quando l'argomento é zero

44xP^2 = 7/4

xP^2 = 7/176

xP = +- rad(7)/4 sqrt(11) = +- rad(77)/44

@eva123

Ciao.

y = 4·x^2 + 1 e y = 1/3·x^2 - x

La prima ha derivata: y'= 8·x

La seconda ha derivata: 2·x/3 - 1

La retta tangente alla prima in un suo punto P[α, 4·α^2 + 1] si ottiene dalla equazione:

y - (4·α^2 + 1) = 8·α·(x - α)----> y = 8·α·x - 4·α^2 + 1

La retta tangente alla seconda in un suo punto R[β, 1/3·β^2 - β] si ottiene dalla equazione:

y - (1/3·β^2 - β) = (2·β/3 - 1)·(x - β)----> y = x·(2·β - 3)/3 - β^2/3

Si vuole che tali rette siano parallele fra loro: quindi i coefficienti angolari devono essere uguali:

8·α = (2·β - 3)/3------>β = 3·(8·α + 1)/2

Quindi: R [3·(8·α + 1)/2, 1/3·(3·(8·α + 1)/2)^2 - 3·(8·α + 1)/2]

Il minimo in valore assoluto della differenza  delle ordinate di P e di R si raggiunge quando la stessa differenza è nulla !

1/3·(3·(8·α + 1)/2)^2 - 3·(8·α + 1)/2 - (4·α^2 + 1) = 0

Sviluppando: 44·α^2 - 7/4 = 0

da cui: α = - √77/44 ∨ α = √77/44

Entrambe le parabole hanno asse di simmetria parallelo all'asse y.
---------------
La
* γ1 ≡ y = 4*x^2 + 1
ha
* apertura a1 = 4 > 0 quindi concavità verso y > 0
* vertice V1(0, 1)
* fuoco F1(0, 17/16)
* distanza focale f1 = 1/16
* pendenza m1(x) = 8*x
---------------
La
* γ2 ≡ y = x^2/3 - x ≡ y = (x - 3/2)^2/3 - 3/4
ha
* apertura a2 = 1/3 > 0 quindi concavità verso y > 0
* vertice V2(3/2, - 3/4)
* fuoco F2(3/2, 0)
* distanza focale f2 = 3/4
* pendenza m2(x) = (2/3)*x - 1
---------------
La verifica che non abbiano punti comuni si deduce, senza nemmeno risolvere il loro sistema, dall'osservazione delle proprietà geometriche: γ1 è completamente racchiusa nella concavità di γ2 in quanto (yF1 > yF2) & (f2 = 12*f1). Analiticamente il sistema
* (y = 4*x^2 + 1) & (y = x^2/3 - x)
ha risolvente
* x^2 + (3/11)*x + 3/11 = 0
con discriminante
* Δ = - 123/121 < 0
------------------------------
* P(a, 4*a^2 + 1)
* R(b, b^2/3 - b)
* m1(a) = m2(b) ≡ 8*a = (2/3)*b - 1 ≡ b = (3/2)*(8*a + 1)
* R((3/2)*(8*a + 1), ((3/2)*(8*a + 1))^2/3 - (3/2)*(8*a + 1))
* d(a) = |((3/2)*(8*a + 1))^2/3 - (3/2)*(8*a + 1) - (4*a^2 + 1)| =
= |(176*a^2 - 7)/4|
* min[d(a)] = 0 per 176*a^2 = 7 ≡ a = ± √(7/11)/4 = ± √77/44
che è proprio il risultato atteso, da cui
* b1 = (33 + 6*√77)/22
* P1(√77/44, 51/44)
* R1((33 + 6*√77)/22, 51/44)
oppure
* b2 = (33 - 6*√77)/22
* P2(a, 51/44)
* R2((33 - 6*√77)/22, 51/44)