L’evoluzione della popolazione di una certa specie è espressa da una funzione della forma: P(t)= k(t/(50+t^2)+(ht+100)/(2t+10)) dove t è il tempo misurato in anni e P(t) rappresenta il numero di elementi della popolazione, mentre h e k sono due costanti. Sapendo che all’istante iniziale (t=0) la popolazione era composta da 3500 unità e che a lungo andare la popolazione tende a una soglia limite di 7000 unità, determina i valori di h e k (risultato: k=350 e h=40)
9
punti
Livello 0
Imponendo la prima condizione:
P(0)= 3500 =>
= > (100/10)*k= 3500 => k=350
Imponendo la seconda condizione:
Lim P(t)= h*k/2 =7000 => h= 7000/175 = 40
t-> +inf
[confronto tra infiniti mediante ordine di infiniti... (h*k*t³) /(2t³)]
77016
punti
Genius II
Se P(0) = 3500
allora k*(0 + 100/10) = 3500
k = 3500/10 = 350
per t -> oo il limite é
350 * (0 + h/2) = 7000
da cui 175 h = 7000
e h = 40
ricordando i limiti delle funzioni razionali.
Il primo é 0 perché si tratta di una frazione propria
e il secondo é il rapporto dei coefficienti dominanti h/2
58345
punti
Livello 7
Si ha
* P(t) = k*(t/(50 + t^2) + (h*t + 100)/(2*t + 10)) =
= k*((h*t^3 + 102*t^2 + 10*(5*h + 1)*t + 5000)/(2*t^3 + 10*t^2 + 100*t + 500)
---------------
* P(0) = 10*k =
= rapporto fra i termini noti
---------------
* lim_(t → ∞) P(t) = h*k/2 =
= rapporto fra i coefficienti direttori di polinomi parigrado
---------------
da cui il sistema risolutivo
* (10*k = 3500) & (h*k/2 = 7000) ≡
≡ (k = 350) & (h*350 = 14000) ≡
≡ (k = 350) & (h = 40)
57798
punti
Genius I
