Dato un quadrato $A B C D$, di lato $a$, sia $P$ un punto sul prolungamento di $A B$ dalla parte di $B$. Indica con $x$ la distanza di $P$ da $B$ e calcola il limite cui tende la differenza $\overline{P D}-\overline{P C}$ quando $x \rightarrow+\infty$.
[Si giunge a dover calcolare $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2+2 a x+2 a^2}-\sqrt{x^2+a^2}\right) ; a$ ]
Spiegare il ragionamento e argomentare.
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Livello 2
Ho disegnato il quadrato con il lato A B in basso e DC in alto, e il segmento PB.
Applicando Il teorema di Pitagora si ottiene:
Passiamo al calcolo del limite
$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+2ax+2a^2} - \sqrt{x^2+a^2} = $
Razionalizziamo moltiplicando e dividendo per $\sqrt{x^2+2ax+2a^2} + \sqrt{x^2+a^2}$
$ = \displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2+2ax+a^2-x^2+a^2}{\sqrt{x^2+2ax+2a^2} + \sqrt{x^2+a^2}} $ =
$ = \displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2ax+2a^2}{\sqrt{x^2+2ax+2a^2} + \sqrt{x^2+a^2}} $ =
dividiamo numeratore e denominatore per x
$ = \displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2a+\frac{2a^2}{x}}{\sqrt{1+\frac{2a}{x} + \frac{2a^2}{x^2}} + \sqrt{1+\frac{a^2}{x^2}}} = \frac{2a}{2} = a $
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Livello 6
