Problema tronco di cono circoscritto ad una sfera

Ciao @beppe

Indichiamo con x ed y i raggi di base del tronco di cono. Facciamo una sezione verticale dei due solidi ed otteniamo quanto mostrato in figura:

Poniamo r=1. Poi se si vuole tenerne conto moltiplichiamo i risultati per r ....

Quindi l'altezza del tronco di cono sarà pari ad h= 2.

1/3·pi·h·(x^2 + y^2 + x·y)= Volume tronco di cono

4/3·pi·r^3 = volume sfera inscritta in esso

Dal testo:

1/3·pi·h·(x^2 + y^2 + x·y)/(4/3·pi·r^3) = 91/18

h·(x^2 + x·y + y^2)/(4·r^3) = 91/18

(2·r)·(x^2 + x·y + y^2)/(4·r^3) = 91/18----> (x^2 + x·y + y^2)/(2·r^2) = 91/18

Sulla sezione consideriamo il triangolo rettangolo AOD: esso è rettangolo in O (facilmente dimostrabile).

Quindi il raggio della sfera r è medio proporzionale fra x ed y :  x·y = r^2

(x^2 + r^2 + y^2)/(2·r^2) = 91/18

18·x^2 + 18·(1^2 + y^2) = 91·(2·1^2)

18·x^2 + 18·y^2 = 164

ed è una equazione...

PASSAGGIO PER PASSAGGIO
---------------
a) Una sfera, di raggio r, ha
* volume Vs = (4/3)*π*r^3
* cerchio massimo Ss = π*r^2
---------------
b) Un tronco di cono ad essa circoscritto, di raggi a < b e altezza h = 2*r, ha
* volume Vc = (π*h/3)*(a^2 + a*b + b^2) = (2*π*r/3)*(a^2 + a*b + b^2)
* sezione assiale (trapezio isoscele) Sc = h*(2*a + 2*b)/2 = 2*r*(a + b)
Con
* (k > 1) & (b = k*a)
si ha
* Vc = (2*π*r/3)*(a^2 + a*k*a + (k*a)^2) = (2*π*r/3)*(k^2 + k + 1)*a^2
* Sc = 2*r*(a + k*a) = 2*r*(k + 1)*a
---------------
c) Vc/Vs = 91/18 ≡
≡ (2*π*r/3)*(k^2 + k + 1)*a^2/((4/3)*π*r^3) = 91/18 ≡
(a^2 (k^2 + k + 1))/(2 r^2)
≡ (k^2 + k + 1)*a^2/(2*r^2) = 91/18 ≡
≡ a^2 = (91/9)*r^2/(k^2 + k + 1) ≡
≡ a = (√(91/(k^2 + k + 1)))*r/3 →
→ b = k*(√(91/(k^2 + k + 1)))*r/3
---------------
d) Per ottenere il risultato atteso si deve avere
* (k > 1) & (√(91/(k^2 + k + 1)) = 1) & (k*√(91/(k^2 + k + 1))/3 = 3) ≡
≡ (k > 1) & (k = 9) & (k = 9) ≡
≡ k = 9
ma il rapporto fra i volumi vale per qualsiasi altro k > 1.
---------------
e) Il fatto che il problema risulti indeterminato potrebbe significare che, ancora una volta, uno di noi due abbia scambiato cazzi per lampioni.