[Risolto] problema trigonometria

Fai riferimento alla figura allegata: i triangoli ABC e BDC sono equivalenti per costruzione, quindi le loro aree sono uguali perché hanno le basi congruenti (per costruzione) ed unica la loro altezza. Sarà quindi sufficiente calcolare l'area A di ABC.

ΒΗ = √(r^2 - (r/2)^2)----> ΒΗ = √3·r/2

ΑΒ = √3·r = c

gli angoli con le solite convenzioni saranno:

α = x

γ = 60° = pi/3 (angolo alla circonferenza ed angoli al centro)

β = pi - (pi/3 + x)

a/SIN(x) = c/SIN(γ) = b/SIN(β)   (Th seni)

SIN(β) = SIN(pi - (pi/3 + x))

SIN(β) = SIN(x + pi/3)

SIN(x + pi/3) = SIN(x)·COS(pi/3) + SIN(pi/3)·COS(x)

SIN(x + pi/3) = √3·COS(x)/2 + SIN(x)/2

Α = 1/2·b·c·SIN(x)

a = 2·r·SIN(x) (Th corde)

c = √3·r

SIN(60°) = √3/2

2·r·SIN(x)/SIN(x) = √3·r/(√3/2) = b/(√3·COS(x)/2 + SIN(x)/2)

2·r = b/(√3·COS(x)/2 + SIN(x)/2)

b = √3·r·COS(x) + r·SIN(x)

Α = 1/2·(√3·r·COS(x) + r·SIN(x))·√3·r

Α = 3·r^2·COS(x)/2 + √3·r^2·SIN(x)/2

r=1

Α = 3·COS(x)/2 + √3·SIN(x)/2

equivalente a scrivere:

Α = √3·SIN(x + pi/3) = f(x)