Salve, vorrei capire come svolgere questo esercizio:
Considera la parabola di equazione y = x^2 – k^2, con k > 0. Determina k in modo che l’area del segmento parabolico limitato dalla parabola e dall’asse x sia 36. Determina poi i vertici del rettangolo inscritto nel segmento parabolico di perimetro massimo.[k = 3; (1, –8), (1, 0), (–1, –8), (–1, 0)
4
punti
Livello 0
L'area del segmento parabolico risulta essere 2/3 dell'area del rettangolo ad esso circoscritto.
La parabola ha concavità verso l'alto, intersezioni con asse x i punti (k, 0) e (-k, 0), vertice nel punto (0, - k²), asse di simmetria la retta x=0.
Quindi: (con k>0)
(2/3)*(2k)*k² = 36
2k³ = 54
K=3
La parabola è y= x² - 9
Intersezione con gli assi (3,0) e (-3,0), V(0, - 9) asse di simmetria x=0
Indichiamo con Xr l'ascissa dei vertici del rettangolo, alla dx dell'asse della parabola; quindi 0 < Xr < 3
La base del rettangolo è:
B= 2Xr
Essendo la funzione y=x²-9 negativa nell'intervallo (- 3,3) l'altezza risulta
H= 9-Xr²
Il perimetro è quindi
2p= 4Xr + 2*(9- Xr²) = - 2Xr² + 4Xr + 18
L'equazione è una parabola con punto di massimo coincidente con l'ascissa del vertice
Xr= - b/2a = 1
Quindi i due vertici corrispondenti ad ascissa Xr=1 sono
V1=(1, 0)
V2=(1, - 8)
I vertici corrispondenti ad ascissa Xr=-1 sono
V3= (-1, 0)
V4= (-1, -8)
77016
punti
Genius II
@stefanopescetto 👍👍👍
