Problema su teorema corde

La corda AB non può essere maggiore del diametro.

Unità di misura a, a^2.
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"una circonferenza di diametro 246a*sqrt2" ≡ R = 246/√2
* Γ ≡ x^2 + y^2 = (246/√2)^2 = 30258
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"punto interno C dista 27a*sqrt2 dal centro O" ≡ |OC| = d = 27*√2
* C(0, 27*√2)
per il quale passano tutte e sole le rette
* x = 0, l'asse y
* r(m) ≡ y = 27*√2 + m*x, per ogni pendenza m reale.
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"Determina la corda AB" ≡ determinare, se ne esistono, quali di tali rette staccano una corda che abbia C ai 4/13 o ai 9/13 da un estremo.
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1) x = 0
* (x = 0) & (x^2 + y^2 = 30258) ≡ A(0, - 123*√2) oppure B(0, 123*√2)
* |AC|/|BC| = |27*√2 + 123*√2|/|27*√2 - 123*√2| = 25/16 ∉ {4/9, 9/4}
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2) y = 27*√2 + m*x
* (y = 27*√2 + m*x) & (x^2 + y^2 = 30258) ≡
≡ A((- (27*√2)*m - 3*√(2*(1681*m^2 + 1600)))/(m^2 + 1), (27*√2 - 3*m*√(2*(1681*m^2 + 1600)))/(m^2 + 1))
oppure
≡ B((- (27*√2)*m + 3*√(2*(1681*m^2 + 1600)))/(m^2 + 1), (27*√2 + 3*m*√(2*(1681*m^2 + 1600)))/(m^2 + 1))
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* |AC| = 6*√((881*m^2 + 9*m*√(1681*m^2 + 1600) + 800)/(m^2 + 1))
* |BC| = 6*√((881*m^2 - 9*m*√(1681*m^2 + 1600) + 800)/(m^2 + 1))
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* |AC|/|BC| = f(m) = √((881*m^2 + 9*m*√(1681*m^2 + 1600) + 800)/(881*m^2 - 9*m*√(1681*m^2 + 1600) + 800))
* lim_(m → - ∞) f(m) = 16/25 > 4/9
* lim_(m → + ∞) f(m) = 25/16 < 9/4
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"Una corda AB passante per C è divisa da tale punto in due punti che risultano uno i 9/4 dell'altro."
IMPOSSIBILE

Ha ragione Luciano. I dati non sono consistenti.

Se x é la lunghezza della corda, R il raggio, d = OC, k il rapporto delle due parti

(9/4 per il nostro problema), h la distanza di AB dal centro,

AC = 1/(1+k) * x   e CB = k/(1+k) * x.

Dal Teorema di Pitagora

{ R^2 - h^2 = (x/2)^2

{ d^2 - h^2 = (x/2 - x/(1+k))^2

per cui sottraendo

R^2 - d^2 = x^2/4 - x^2 * [(1+k-2)/2(1+k)]^2

R^2 - d^2 = x^2/4 * (1 - (k-1)^2/(k+1)^2)

R^2 - d^2 = x^2/4 * 4k/(1+k)^2

x^2 * k/(k + 1)^2 = R^2 - d^2

x^2 = (k+1)^2 * (R^2 - d^2)/k

x = (k+1) * sqrt [(R^2 - d^2)/k]

Ha scelto male i dati.

Perché, dovendo essere x <= 2R

(k+1) sqrt ((R^2 - d^2)/k) <= 2R

(k + 1)^2 * (R^2 - d^2)/k <= 4R^2

R^2 - d^2 <= 4 k R^2/(k + 1)^2

d^2 >= R^2 ( 1 - 4k/(k + 1)^2 )

d^2 >= R^2 (k-1)^2/(k+1)^2

d >= R (k-1)/(k+1)

e se ci siamo fissati che k deve essere 9/4 allora

d doveva essere almeno

123 a rad(2) * 5/4 : 13/4 = 47.3 a rad(2)

e non 27 a rad(2).

Se sostituisci nella formula il risultato viene ma non ha significato

geometrico.

x = 13/4 * rad [ (123 a rad(2))^2 - (27 a rad(2))^2 ) : 9/4 ] =

= 13/4 * 2/3 rad (30258 a^2 - 1458a^2 ) =

= 13/6 * a rad (28800) =

= 13/6 a * 120 rad 2 =

= 260 a rad 2

ma non é accettabile essendo maggiore del diametro.

La corda AB non può essere maggiore del diametro pertanto è impossibile