Problema di ottimizzazione

y = - x^2 + 4·x : parabola ad asse verticale passante per l'origine e rivolta verso il basso

x = - b/(2·a)----> x = - 4/(2·(-1))---> x = 2 asse della parabola

Calcolo ordinata del vertice

yV = - 2^2 + 4·2----> y = 4

V [2, 4]

Limiti per k: 0 < k < 4

{y = - x^2 + 4·x

{y = k

Risolvo ed ottengo: [x = √(4 - k) + 2 ∧ y = k, x = 2 - √(4 - k) ∧ y = k]

(intersezioni nei punti A e B della parabola con la retta)

Α = ((√(4 - k) + 2) - (2 - √(4 - k)))·k

Α = 2·k·√(4 - k)

Calcolo le due derivate:

A' = (8 - 3·k)/√(4 - k)

A'' = (3·k - 16)/(2·(4 - k)^(3/2))

C.N. A'=0----> (8 - 3·k)/√(4 - k) = 0---> k = 8/3

Αmax = 2·(8/3)·√(4 - 8/3)----> Αmax = 32·√3/9

A''=(3·(8/3) - 16)/(2·(4 - 8/3)^(3/2)) = - 3·√3/2 < 0

(verifica del max)

Rettangolo di area massima

1.  Disegniamo il grafico

https://www.desmos.com/calculator/b4osmuogs6

Osserviamo che il problema ha senso per x∈[0, 4]

Determiniamo le intersezioni dell'arco di parabola con la retta y = k risolvendo il sistema

$ \begin{cases} y = -x^2+4x \\ y = k \end{cases} $

che equivale a trovare le soluzioni dell'equazione $ -x^2+4x=k$

Le soluzioni saranno reali se il discriminante sarà positivo o nullo, cioè $ 4 - k \ge 0 \; ⇒ \; k \le 4$

In tal caso, le soluzioni sono

$ x = 2 \pm \sqrt{4-k} $

dalla quale deduciamo che la lunghezza L della base sarà  $L = 2 \sqrt{4-k}$

2. Calcoliamo il valore dell'area S(k) in funzione del parametro k.

$ S(k) = k \cdot L = 2k \cdot  \sqrt{4-k}$

Verifica: la funzione S(k) non può che essere positiva  

3. Determiniamo il valore massimo in [0, 4]

Osserviamo che la funzione S(k) è una funzione continua in [0, 4] quindi per Weirestrass esisteranno punti di minimo assoluto e di massimo assoluto. I punti di minimo sono x = 0 e x = 4 dove la funzione si annulla.

Determiniamo i punti stazionari

derivata prima $ S'(k) = \frac{8-3k}{2 \sqrt{4-k}}$

punti stazionari $ k = \frac{8}{3}$

dove la funzione vale $ S_{max} = \frac{16\sqrt{3}}{9} $

Tale punto non può che essere il  nostro massimo. (un solo punto stazionario, di una funzione positiva e derivabile , che si annulla nei due punti frontiera dell'intervallo dove è definita). In alternativa puoi studiare il segno della derivata prima o il segno del valore assunto dalla derivata seconda.