Nel triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC, BC è 5 e AB 3. Sia D il punto in cui la bisettrice di ABC interseca il cateto AC. Sul segmento BD, considera un punto P la cui distanza da AB (o da BC) è uguale a x, per quale valore di x è minima la somma dei quadrati delle distanze di P dai vertici del triangolo ABC?
RAGAZZI STO TENTANDO PURE IO DI RISOLVERLO MA COME SI FA QUESTO PROBLEMA?
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Livello 2
Triangolo rettangolo deve essere: ΑC = 4
Con riferimento alla figura di sopra si può scrivere:
y/(4 - y) = 3/5
(Teorema della bisettrice per triangoli qualsiasi)
y = 3/2
quindi deve essere: 0 ≤ x ≤ 3/2
Dalla similitudine dei triangoli di figura possiamo scrivere:
3/2/3 = x/(3 - η)-----> η = 3 - 2·x
Quindi risolviamo:
ΡΑ^2 = x^2 + (3 - 2·x)^2-----> PA^2= 5·x^2 - 12·x + 9
ΡΒ^2 = x^2 + (3 - η)^2
Ρ·Β^2 = x^2 + (3 - (3 - 2·x))^2-----> PB^2=5·x^2
Poi:
EC=5 - (3 - η) = 5 - (3 - (3 - 2·x))----> EC=5 - 2·x
PC^2= x^2 + (5 - 2·x)^2-----> PC^2=5·x^2 - 20·x + 25
Quindi:
y = (5·x^2 - 12·x + 9) + 5·x^2 + (5·x^2 - 20·x + 25)
y = 15·x^2 - 32·x + 34
parabola ad asse verticale il cui minimo si trova in corrispondenza di
x = - b/(2·a)-----> x = 32/30-----> x = 16/15
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Genius III
