[Risolto] problema di matematica

a1) "Sapendo che la derivata quarta ..."
* f(x) = y = a*x^5 + b*x^2 + c*x + d
* f4(x) = y'''' = 5*4*3*2*a*x = 24*x ≡ a = 1/5
* f(x) = y = x^5/5 + b*x^2 + c*x + d
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a2) "[Sapendo che] la derivata seconda ..."
* f''(x) = y'' = 5*4*x^3/5 + 2*1*b*x^0 = 4*x^3 + 2*b
* f''(- 1) = 4*(- 1)^3 + 2*b = 0 ≡ b = 2
* f(x) = y = x^5/5 + 2*x^2 + c*x + d
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a3) Dal grafico si rilevano i passaggi per
* O(0, 0): 0 = 0^5/5 + 2*0^2 + c*0 + d ≡ d = 0
* A(1, 6/5): 6/5 = 1^5/5 + 2*1^2 + c*1 + 0 ≡ c = - 1
da cui infine
* f(x) = y = x^5/5 + 2*x^2 - x
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b) f'''(x) = D[4*x^3 + 2*b] = 3*4*x^2 + 0 = 12*x^2 QED
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c1) f(x) = y = x^5/5 + 2*x^2 - x
* f(- 1) = y = 14/5
* f'(x) = x^4 + 4*x - 1
* f'(- 1) = - 4 = pendenza di s per B(- 1, 14/5)
* f'(1) = 4 = pendenza di t per A(1, 6/5)
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c2) s ≡ y = 14/5 - 4*(x + 1) ≡ y = - 4*x - 6/5
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c3) t ≡ y = 6/5 + 4*(x - 1) ≡ y = 4*x - 14/5
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c4) (y = 14/5 - 4*(x + 1)) & (y = 6/5 + 4*(x - 1)) ≡ (1/5, - 2)
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d) http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-2*x%5E2%3Dx%5E5%2F5-x%2Cy%3D-4*x-6%2F5%2Cy%3D4*x-14%2F5%5Dx%3D-4to4%2Cy%3D-5to9

Dato che:

y(x) = ax⁵ + bx² + cx + d
y'(x) = 5ax⁴ + 2bx + c
y''(x) = 20ax³ + 2b
y'''(x) = 60ax²
y''''(x) = 120ax

allora il sistema di equazioni:

y(0) = 0
y(1) = 6/5
y''(-1) = 0
y''''(x) = 24x

è verificato se e solo se:

a = 1/5
b = 2
c = -1
d = 0

da cui:

y(x) = x⁵/5 + 2x² - x
y'(x) = x⁴ + 4x - 1
y''(x) = 4x³ + 4
y'''(x) = 12x²
y''''(x) = 24x

Quindi, applicando la definizione di derivata:

y'''(x) := lim (y''(x+h) - y''(x))/h
............ h→0

ossia:

y'''(x) = lim (4(x + h)³ + 4 - 4x³ - 4)/h
........... h→0

ossia:

y'''(x) = lim 4h(3x² + 3hx + h²)/h
........... h→0

ossia:

y'''(x) = 12x²

Infine, intersecando le rette tangenti:

s: y - y(-1) = y'(-1)(x - (-1))
t: y - y(1) = y'(1)(x - 1)

ossia:

s: y - 14/5 = -4(x + 1)
t: y - 6/5 = 4(x - 1)

si ottiene il punto:

P(1/5, -2).

Ciao!