buonasera a tuttii
Sulla semicirconferenza di diametro AB=2r determina un punto P tale che dette M e H le sue proiezioni ortogonali rispettivamente sulla retta tangente in A alla semicirconferenza e sul diametro AB sia massima l area del rettangolo AHPM Posso vedere la figura?
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Livello 2
Ciao.
Pongo r=1 per cui considero la funzione:
y = √(1 - x^2)
che esprime una semicirconferenza centrata in O(0,0).
Un suo generico punto P ha coordinate: [x, √(1 - x^2)]
Con riferimento alla figura allegata, la funzione che esprime l'area del rettangolo è:
a = (1 + x)·√(1 - x^2)
Calcolo quindi la derivata ed ottengo :
d((1 + x)·√(1 - x^2))/dx=√(1 - x^2) - x·(x + 1)/√(1 - x^2)
Quindi : a'=da/dx=- (2·x^2 + x - 1)/√(1 - x^2)
Studio il segno della derivata ponendo:
- (2·x^2 + x - 1)/√(1 - x^2) ≥ 0 che fornisce: -1 < x ≤ 1/2
Quindi, con riferimento alla funzione y data in studio ho:
y cresce per -1 < x < 1/2
y decresce per 1/2 < x < 1
x=1/2 è un punto di massimo per la funzione y in esame . Tale massimo vale:
a MAX = a(1/2) =(1 + 1/2)·√(1 - (1/2)^2)-------> a MAX = 3·√3/4 ( 1.299)
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Genius III
Ciao. A dire il vero ho letto molto superficialmente la tua soluzione. I risultati tuoi mi sembra che non siano corretti pur partendo da presupposti giusti. Io ottengo risultati diversi. Adesso scrivo la mia risposta. Buona giornata.
@LucianoP, si, effettivamente c'era un errore di calcolo nel raccoglimento della derivata prima, ho corretto, mi ha aiutato @stefanopescetto. Ma metti pure la tua soluzione, non siamo infallibili, e io non lo sono. 🙂
Sei bravo. Sapessi quanti ne faccio io! 🤔
@LucianoP, lasciamo perdere.. io sto rispolverando roba delle superiori per i miei figli, è un inciampo dietro l'altro , ahahah 😆 😆 . A presto caro
Nel riferimento di origine in A, asse x sul diametro AB e orientato verso B, asse y sulla tangente in A alla semicirconferenza Γ/2 e orientato verso il semipiano con Γ/2, la semicirconferenza è definita da
* Γ/2 ≡ ((x - r)^2 + y^2 = r^2) & (y > 0)
la diagonale AP da
* d ≡ AP ≡ (y = m*x) & (m > 0) & (0 < x < 2*r/(m^2 + 1))
P è l'intersezione
* d & Γ/2 ≡ (2*r/(m^2 + 1), m*(2*r/(m^2 + 1))
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I vertici del rettangolo AHPM sono
* A(0, 0)
* H(2*r/(m^2 + 1), 0)
* P(xP, yP) = (2*r/(m^2 + 1), m*(2*r/(m^2 + 1))
* M(0, m*(2*r/(m^2 + 1))
e la sua area è
* S(m) = (4*r^2)*m/(m^2 + 1)^2 = (4*r^2)*f(m)
da cui
* max[m/(m^2 + 1)^2] = f(1/√3) = 3*√3/16
* S(1/√3) = (3*√3/4)*r^2 ~= (1.299038)*r^2 ~= (404/311)*r^2
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DETTAGLI
* f(m) = m/(m^2 + 1)^2
* f'(m) = (1 - 3*m^2)/(m^2 + 1)^3
* f''(m) = 12*m*(m^2 - 1)/(m^2 + 1)^4
Condizione di massimo relativo
* (f'(m) = 0) & (f''(m) < 0) ≡
≡ ((1 - 3*m^2)/(m^2 + 1)^3 = 0) & (12*m*(m^2 - 1)/(m^2 + 1)^4 < 0) ≡
≡ (3*m^2 = 1) & (m*(m^2 - 1) < 0) ≡
≡ m = 1/√3
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VEDERE LA FIGURA (per r = 100)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-100%29%5E2--y%5E2%3D100%5E2%2Cy%3Dx%2F%E2%88%9A3%2C%28x-150%29*%28y-50*%E2%88%9A3%29%3D0%5Dx%3D0to200%2Cy%3D0to200
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Genius I
