[Risolto] Problema di geometria solida

Un solido è formato da due piramidi regolari quadrangolari, aventi la base in comune, la cui area è 100 dm^2. Sapendo che la distanza fra i vertici delle piramidi misura 15,75 dm e che l'altezza di una piramide è
16/5 dell'altra, calcola:                                  

1. la misura dell'apotema di ciascuna delle due piramidi;
2. l'area totale del solido;
3. il volume del solido.

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Piramide maggiore.

Altezza $h_1= \dfrac{15,75}{16+5}×16 = \dfrac{15,75}{21}×16 = 12~dm$;

spigolo di base $s= \sqrt{Ab} = \sqrt{100} = 10~dm$;

perimetro del quadrato di base $2p= 4·s = 4×10 = 40~dm$;

apotema di base $ap_b= \dfrac{s}{2} = \dfrac{10}{2} = 5~dm$;

apotema della piramide $ap_1= \sqrt{h_1^2+ap_b^2} = \sqrt{12^2+5^2} = 13~dm$ (teorema di Pitagora);

area laterale $Al_1= \dfrac{2p·ap_1}{2} = \dfrac{40×13}{2} = 260~dm^2$;

area totale $At_1= Ab+Al_1 = 100+260 = 360~dm^2$;

volume $V_1= \dfrac{Ab·h_1}{3} = \dfrac{100×12}{3} = 100×4 = 400~dm^3$.

Piramide minore.

Altezza $h_2= \dfrac{15,75}{16+5}×5 = \dfrac{15,75}{21}×5 = 3,75~dm$;

spigolo di base, perimetro di base e area di base = piramide maggiore;

apotema della piramide $ap_2= \sqrt{h_2^2+ap_b^2} = \sqrt{3,75^2+5^2} = 6,25~dm$ (teorema di Pitagora);

area laterale $Al_2= \dfrac{2p·ap_2}{2} = \dfrac{40×6,25}{2} = 125~dm^2$;

area totale $At_2= Ab+Al_2 = 100+125 = 225~dm^2$;

volume $V_2= \dfrac{Ab·h_2}{3} = \dfrac{100×3,75}{3} =125~dm^3$.

Solido composto dalle due piramidi.

Area totale $At_3= Al_1+Al_2 = 260+125 = 385~dm^2$;

volume $V_3= V_1+V_2 = 400+125 = 525~dm^3$.

Un solido è formato da due piramidi regolari quadrangolari, aventi la base in comune, la cui area è 100 dm^2. Sapendo che la distanza h1+h2 fra i vertici delle piramidi misura 15,75 dm e che l'altezza di una piramide è
16/5 dell'altra, calcola:                                  

1. la misura dell'apotema di ciascuna delle due piramidi

h1+16h1/5 = 21h1/5 = 15,75 dm

h1 = 15,75*5/21 = 3,75 dm

h2 = 15,75-3,75 = 12,00 dm

lato L = √100 = 10 dm 

apotema a1 = √h1^2+L^2/4 = √3,75^2+25 = 6,25 dm

apotema a2 = √h2^2+L^2/4 = √5^2+144 = 13,00 dm

 2. l'area totale A del solido

area totale A = 2L*(a1+a2) = 20*19,25 = 385,00 dm^2

3. il volume V del solido

V = 100*15,75/3 = 525,00 dm^3