[Risolto] Problema di geometria risolvibile per via algebrica

Un triangolo equilatero ABC ha area uguale a 9a^2*(radice di 3)

1. Determina la misura del lato del triangolo.
2. Sia M il punto medio di AB. Determina un punto P, appartenente al lato AC, in modo che risulti PM^2+ PB^2= 36a^2.
3. Dimostra che in corrispondenza di uno dei due punti P che soddisfano la condizione di cui al punto precedente, il quadrilatero PMBC è un trapezio isoscele.

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Detto x il lato del triangolo equilatero, si deve avere:

Α = 1/2·x·(√3/2·x)----> Α = √3·x^2/4

ma   Α = 9·a^2·√3

quindi:

√3·x^2/4 = 9·a^2·√3----> x = - 6·a ∨ x = 6·a posto6·a > 0

ΜΡ^2 + ΒΡ^2 = 36·a^2

ΑΡ = t

ΑΜ^2 = (6·a/2)^2 = 9·a^2

Quindi Th Carnot:

ΜΡ^2 = t^2 + 9·a^2 - 2·3·a·t·COS(60°)

ΜΡ^2 = 9·a^2 - 3·a·t + t^2

Analogamente:

ΒΡ^2 = t^2 + (6·a)^2 - 2·6·a·t·COS(60°)

ΒΡ^2 = 36·a^2 - 6·a·t + t^2

Quindi:

(9·a^2 - 3·a·t + t^2) + (36·a^2 - 6·a·t + t^2) = 36·a^2

Quindi sviluppando ed ordinando in t:

2·t^2 - 9·a·t + 9·a^2 = 0

Risolvendo si ottiene:

t = 3·a/2 ∨ t = 3·a

Si ha un trapezio isoscele PMBC per t=3a: