[Risolto] Problema di fisica

In un sistema conservativo, l'energia meccanica si conserva:

$E(x,v) = T+V = \frac{1}{2}mv^2 + U(x)$

con $T$ energia cinetica.

Pertanto è possibile ricavare l'equazione del moto trovando un integrale primo dall'equazione assegnata.

Nel nostro caso abbiamo:

$ T = E - V$ 

e dunque possiamo dire che la velocità è:

$ \dot{x} = \sqrt{\frac{2}{m}(E-V(x))}$

che distinguiamo nei due casi:

$ \dot{x} = \sqrt{\frac{2}{m}(E-\frac{1}{2}kx^2)}$ se $x\leq 0$

$ \dot{x} = \sqrt{\frac{2}{m}(E-\frac{1}{2}amx)}$ se $x\geq 0$

dove $E$ è un valore assegnato di energia meccanica totale.

Questo è l'integrale primo dell'energia. Ora risolviamo l'equazione differenziale per trovare l'equazione del moto.

Consideriamo un'equazione per volta, cominciando da quella con $x\leq 0$. Si tratta di un'equazione a variabili separabili per cui:

$ \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2}{m}(E-\frac{1}{2}kx^2)}$

da cui

$dt = \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-\frac{1}{2}kx^2)}} dx$

Risolviamo integrando ambo i membri. Dato che vogliamo ricondurci alla derivata dell'arcsin, risistemo il secondo termine come:

$ t = \sqrt{\frac{m}{2E}} \int \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{\frac{k}{2E}}x)^2}} dx$

(ho messo in evidenza e portato fuori dall'integrale la costante)

e dunque risolvendo l'integrale:

$ t = \sqrt{\frac{m}{k}} arcsin(\sqrt{\frac{k}{2E}} x)$  

da cui, esplicitando la x:

$x(t) = \sqrt{\frac{2E}{k}} sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$

Soluzione che ci aspettavamo (si tratta di un moto armonico) dato che l'energia assegnata era quella potenziale elastica.

Naturalmente il periodo è:

$ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{k/m}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

L'altro tratto è invece più semplice dato che abbiamo:

$ \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2}{m}(E-max)}$

che riscriviamo come:

$ dt =(\frac{2E}{m}-2ax)^{-1/2} dx$

e risolvendo l'integrale:

$ t = \frac{-1}{2a} \sqrt{\frac{2E}{m}-2ax}$

da cui

$x = \frac{E}{ma} -2at^2$

che è ovviamente un moto accelerato, non periodico.

 

Noemi