[Risolto] problema con applicazione dei principi della dinamica

Senza attrito, ci sono solo le forze di gravità parallele ai piani e la tensione fra  i due blocchi.

F1 = M * g * sen40°;

F1 = 4,0 * 9,8 * 0,643 = 25,2 N (verso sinistra);

F2 = m * g * sen45°;

F2 = 1,1 * 9,8 * 0,707 = 7,6 N; (verso destra):

F risultante = F1 - F2 = 25,2 - 7,6 = 17,6 N (verso sinistra, il blocco di massa M = 4,0 kg scende e trascina verso l'alto del secondo piano, il blocco più piccolo di massa  m = 1,1 kg;

a = Frisult / (M + m) = 17,6 / (4,0 + 1,1) = 3,45 m/s^2;

Tensione T:

Forze sul blocco M che scivola giù:

F1 - T = M * a;

T = F1 - M * a;

T = 25,2 - 4,0 * 3,45 = 11,4 N (lungo la fune, verso l'alto del piano inclinato di 40°);

Sul blocco m che sale tirato dalla fune:

T - F1 = m * a;

T = F1 + m * a

T = 7,6 + 1,1 * 3,45 = 11,4 N;

Con attrito statico solo sul primo piano inclinato di 40°; corpi che iniziano a muoversi da fermi:

F attrito = 0,20 * 4,0 * 9,8 * cos40° = 6,0 N (forza frenante).

F1 = 25,2 - 6,0 = 19,2 N;

F2 = 7,6 N (come prima se sul piano 1 non c'è attrito)

F ris =  19,2 - 7,6 = 11,6 N; (verso sinistra).

a = F ris / 5,1 kg) = 2,3 m/s^2;

T = F1 - M * a = 19,2 - 4,0 * 2,3 = 10,0 N; (la  tensione diminuisce).

Con attrito dinamico kd = 0,13:

Fattrito = 0,13 * 4,0 * 9,8 * cos40° = 3,9 N (forza frenante).

F1 = 25,2 - 3,9 = 21,3 N;

F ris =  21,3 - 7,6 = 13,7 N; (verso sinistra).

a = 13,7 / 5,1 = 2,7 m/s^2;

T = F1 - M * a = 21,3 - 4,0 * 2,7 = 10,5 N.

Ciao @serena_pia_manzione 

Senza attrito

accelerazione a = g(M*sin 40-m*sin 45)/(m+M)

a = 9,806*(4*0,6422-1,1*1,414/2)/(4+1,1) = 3,444.. m/sec^2

tensione T = m(g*sin 45+a) = 1,1*(9,806*1,414/2+3,444) = 11,41 N 

tensione T = M(g*sin 40-a) = 4(9,806*0,6422-3,444) = 11,41 N 

Con attrito statico (μs = 0,20)

cos 40° = 0,7660

accelerazione a' = g(M*sin 40-(m*sin 45+M*cos40°*μs)/(m+M)

a' = 9,806*(4*0,6422-(1,1*1,414/2+4*0,7660*0,20))/5,1 = 2,266 m/sec^2

tensione T' = m(g*sin 45+a') = 1,1*(9,806*1,414/2+2,266) = 10,12 N 

Con attrito dinamico (μd = 0,13)

cos 40° = 0,7660

accelerazione a'' = g(M*sin 40-(m*sin 45+M*cos40°*μd)/(m+M)

a'' = 9,806*(4*0,6422-(1,1*1,414/2+4*0,7660*0,13))/5,1 = 2,678 m/sec^2

tensione T'' = m(g*sin 45+a'') = 1,1*(9,806*1,414/2+2,678) = 10,57 N 

@serena_pia_manzione

Ciao. Per il momento svolgo solo la prima parte in assenza di attrito.

DOPPIO PIANO INCLINATO

- determina la tensione della fune e l’accelerazione dei due blocchi in assenza di attrito

- determina la tensione della fune e l’accelerazione dei due blocchi in presenza di attrito sul primo piano inclinato

Con riferimento alla figura di sopra scriviamo la seconda legge della dinamica nella direzione del movimento supposto con riferimento al blocco 1 e con riferimento al blocco 2.

Siccome il piano è liscio sia da una parte che dall’altra, le reazioni equilibrano le due componenti delle forze pesi nelle direzioni ortogonali al piano stesso. Le uniche forze da considerare sono lungo il piano inclinato.

Blocco 1

La risultante delle forze applicate nella direzione del movimento è:

T-Fp1x=T-Fp1SIN(β)= T - (1.1·9.806)·√2/2 = T - 7.627---------> T-7.627=1.1*a   (=ma)

Blocco 2

La risultante delle forze applicate nella direzione del movimento è:

Fp2x-T= Fp2 SIN(α)-T =(4·9.806)·SIN(40°) - T = 25.213 – T ---------->25.213 – T =4*a    (=Ma)

Quindi, sommando membro a membro le due ultime equazioni:

25.213 - 7.627 = 5.1·a --------->a = 3.448 m/s^2

Quindi : T - 7.627 = 1.1·3.448----------> T = 11.42 N

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L’attrito statico μs = 0,20 viene considerato quando i due blocchi iniziano a muoversi da fermi. E’ presente solo sul primo piano inclinato di 40°

Blocco 1

Vale la relazione precedente:

T-7.627=1.1*a   (=ma)

Blocco 2

E’ presente anche la forza di attrito statico: Fa=g·m·μ·COS(α) = 6.0095

25.213 – T-6.0095 =4*a    (=Ma) 

19.2035-T=4*a

Operando come in precedenza abbiamo:

{19.2035-T=4*a

{ T-7.627=1.1*a  

-------------------------sommo

 11.5765=5.1*a   --------->a = 2.27 m/s^2

T=1.1*2.27+7.627------------------------>T = 10.124 N

----------------------------------------------------------------------------

 Analogamente si ragiona nel caso in cui i blocchi sono in movimento!

Fa=g·m·μ·COS(α) = 9.806·4·0.13·COS(40°) = 3.906 N

{ T-7.627=1.1*a   (=ma)

{25.213-T-3.906=4*a   (=Ma)

Si risolve il sistema e si ottiene: [a = 2.682 m/s^2 ∧ T = 10.578 N]