[Risolto] piramide

Una piramide ha per base un rombo avente un angolo di 60 gradi ; calcola l'area della superficie laterale Al della piramide ed  il volume V sapendo che l'apotema a della piramide che e' di sqrt6 cm forma con l altezza h  della piramide stessa un angolo di 45 gradi 

apotema = √2 * √3

altezza = raggio = √2 * √3 / √2  =  √3

raggio r = area A/semiperimetro p 

A = d/2*d√3/2 =  d^2√3 /4 ;  A^2 = d^4*3/16 (d e D stanno tra loro nel rapporto √3)

p = 2L = 2√(d/2)^2+(d√3/ 2)^2 =  2√4d^2/4 = 2√d^2  ; p^2 = 4d^2

r^2 = A^2/p^2 = d^4*3/(16*4d^2)

3*64d^2 = d^4/3

d = √64 = 8 

D  = 8√3 

perimetro 2p = 4√d^2  = 4+8 = 32 cm 

superf. laterale Al =  2p*a/2 = 16*√6 = 32√3 /√2 cm^2 

area di base A = d^2*√3 /4  = 16√3  cm^2

V = A*h /3 = 16√3*√3 / 3 = 16 cm^3

Un rombo di lato L "avente un angolo di 60 gradi" ≡ fatto di due triangoli equilateri di lato L, spalla a spalla; la sua area S è
* S = 2*(√3/4)*L^2 = (√3/2)*L^2
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Poiché ogni rombo è circoscrittibile il suo inraggio r esiste ed è il rapporto fra l'area S e il semiperimetro p/2
* r = 2*S/(4*L) = S/(2*L) = (√3/2)*L^2/(2*L) = (√3/4)*L
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Se la piramide è retta, cioè se l'altezza h ha piede nel centro del rombo allora "angolo di 45 gradi" vuol dire che l'apotema a (a = k*√6) è diagonale di un quadrato che ha per lato sia l'altezza h che l'inraggio r della base rombica; pertanto
* h = r = a/√2 = k*√3 = (√3/4)*L ≡ L = 4*k
da cui
* S = (√3/2)*L^2 = (√3/2)*(4*k)^2 = (8*√3)*k^2
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RISPOSTE AI QUESITI
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A) "calcola la rea della superficie laterale"
* AL = p*a/2 = 4*(L*a/2) = 2*4*k*k*√6 = (8*√6)*k^2 = (√384)*k^2 ~= 20*k^2
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B) "calcola ... il volume"
* V = S*h/3 = ((8*√3)*k^2)*k*√3/3 = 8*k^3 = (2*k)^3
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C) "posso vedere la figura"
NON DA ME, non ho GeoGebra e, se l'avessi, non saprei usarlo.