Buongiorno, stavo provando a svolgere questo esercizio. Non capisco perché la singoletta {0} non è aperta e invece {1} lo è. {1} è aperto perché appartiene alla topologia, ma allora perché {0} non lo è se appartiene a V?
Buongiorno, stavo provando a svolgere questo esercizio. Non capisco perché la singoletta {0} non è aperta e invece {1} lo è. {1} è aperto perché appartiene alla topologia, ma allora perché {0} non lo è se appartiene a V?
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Livello 2
Problema:
Sia $X=[-1,1] \subset \mathbb{R}$. Su $X$ si consideri la topologia $\tau = \{\emptyset\} \cup \{X\} \cup \{ U \subset X \mid 0 \notin U\} \cup \{ V \subset X \mid (-1,1) \subset V\}$.
Dire se $Y_1=\{1\}$ e $Y_2=\{0\}$ sono aperti e/o chiusi nello spazio topologico $(X, \tau)$.
Soluzione:
$Y_1$ è aperto per definizione della topologia dato che $Y_1 \subset \{ U \subset X \mid 0 \notin U\}$.
Inoltre il suo complemento è dato da $[-1,1] \setminus \{1\}$, ossia $[-1,1)$. Poiché $(-1,1) \subset [-1,1)$, questo è un insieme $V$ presente nella topologia e quindi aperto. Se ne desuce che $Y_1$ è anche chiuso.
$Y_2$ è un chiuso perché il suo complementare è esattamente $\{U \subset X \mid 0 \notin U\}$ che è un aperto secondo $\tau$.
Poiché $\{0\}$ non è né $X$, nè l'insieme vuoto e inoltre non coincide nè con il suo complementare e non è in $\{ V \subset X \mid (-1,1) \subset V\}$, non può essere aperto perché $Y_2 \notin \tau$.
Riguardo alla tua domanda, $Y_2$ non è un insieme $V$ perché non contiene $(-1,1)$.
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Livello 6