Parabole

Se stai svolgendo un compito in classe la pubblicazione di questa domanda è un reato.
E reato sarebbe il risponderti subito.
Pubblicherò il mio svolgimento dopo un congruo intervallo.
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SVOLGIMENTO (dopo tre ore)
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Ogni parabola Γ non degenere e con:
* asse di simmetria parallelo all'asse y;
* apertura a != 0;
* vertice V(w, h);
ha equazione
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
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I vincoli d'appartenenza di A(0, 4) e di B(- 1, 0) sono
* (4 = h + a*(0 - w)^2) & (0 = h + a*(- 1 - w)^2) ≡
≡ (w = - (a + 4)/(2*a)) & (h = - (a - 4)^2/(4*a))
da cui
* Γ ≡ y = - (a - 4)^2/(4*a) + a*(x + (a + 4)/(2*a))^2
con pendenza
* m(x) = a*(2*x + 1) + 4
che in A(0, 4) vale
* m(0) = a + 4
Il vincolo di tangenza con la retta y = 2*x + 4 ≡ y = 2*(x + 2), di pendenza m = 2, è
* m(0) = m ≡ a + 4 = 2
da cui
* a = - 2
* Γ ≡ y = 9/2 - 2*(x - 1/2)^2
* V(1/2, 9/2)
* m(x) = 2*(1 - 2*x)
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* (y = 4) & (y = 9/2 - 2*(x - 1/2)^2) ≡ T(1, 4)
* m(1) = - 2
* t ≡ y = 4 - 2*(x - 1) ≡ y = - 2*(x - 3)
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* (y = 0) & (y = 9/2 - 2*(x - 1/2)^2) ≡ C(2, 0)
La corda AC, lunga 2*√5, giace sulla retta y = - 2*(x - 2) di pendenza - 2.
La richiesta area del segmento parabolico AVC è un sesto del prodotto fra il modulo dell'apertura e il cubo del modulo della differenza fra le ascisse di A e C
* S(AVC) = |a/6|*(|xA - xC|)^3 = |- 2/6|*(|0 - 2|)^3 = 8/3

y = a·x^2 + b·x + 4

c=4 dovendo passare per A(0,4)

Il passaggio per B(-1,0) impone che:

0 = a·(-1)^2 + b·(-1) + 4---> a - b = -4---> b = a + 4

Quindi un solo parametro da determinare. A tal fine sfruttiamo le formule di sdoppiamento applicate nel punto: A(0,4) in cui si sa che y = 2·x + 4

(y + 4)/2 = a·0·x + (a + 4)·(x + 0)/2 + 4

(y + 4)/2 = x·(a + 4)/2 + 4

y = x·(a + 4) + 4

per confronto deve essere: a + 4 = 2---> a = -2

b = -2 + 4---> b = 2

y = - 2·x^2 + 2·x + 4

Basta ho sonno. Se mi ricorderò continuerò domani.