Parabola

Per la parte a basta imporre che la risolvente del sistema

{ y = -2x^2 + 3x

{ y = x + q

sia uguale a 0

2x^2 - 3x + x + q = 0

2x^2 - 2x + q = 0

1 - 2q = 0

q = 1/2

Il resto é semplice e lo lascio a te

b) basta scambiare le variabili   x = -2y^2 + 3y

perché la simmetria é rispetto alla bisettrice y = x

Retta tangente e punto di tangenza:

{y = - 2·x^2 + 3·x

{y = x + q

risolvo per sostituzione:

x + q = - 2·x^2 + 3·x---> 2·x^2 - 2·x + q = 0

Impongo la condizione di tangenza: Δ/4 = 0

(-1)^2 - 2·q = 0----> 1 - 2·q = 0-----> q = 1/2

y = x + 1/2

2·x^2 - 2·x + 1/2 = 0----> 4·x^2 - 4·x + 1 = 0

(2·x - 1)^2 = 0-----> x = 1/2

y = 1/2 + 1/2------> y = 1

T [1/2,1]

Calcolo area ATB

{y = - 2·x^2 + 3·x

{y = 0

Risolvo: [x = 0 ∧ y = 0, x = 3/2 ∧ y = 0]

A [0, 0]

T [1/2, 1]

B [3/2, 0]

A [0, 0]

Α = 1/2·ABS((0·1 + 1/2·0 + 3/2·0) - (0·0 + 3/2·1 + 1/2·0))

Α = 1/2·ABS(0 - 3/2)----> Α = 3/4

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Parabola simmetrica a quella data rispetto alla bisettrice y=x

Sostituzioni:

x → y

y → x

Le due parabole sono:

y = - 2·x^2 + 3·x

x = - 2·y^2 + 3·y

Messe a sistema e risolto forniscono le intersezioni Ce D di figura:

C [0,0] e D [1,1]

Tangente unica in D alle due parabole.

Il testo mi sembra un po' incasinato, per capirlo bene devo riorganizzare a modo mio le notizie che porta con le conseguenze che implicano.
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1) La bisettrice dei quadranti dispari, r ≡ y = x, serve sia come asse di simmetria nel quesito b che, nel quesito a, come parallela alla richiesta retta t tangente la parabola
* γ1 ≡ y = - 2*x^2 + 3*x ≡ y = 2*(3/2 - x)*x ≡ y = 9/8 - 2*(x - 3/4)^2
che ha
* pendenza m(x) = - 4*(x - 3/4) = 3 - 4*x
* asse di simmetria x = 3/4 parallelo all'asse y
* apertura a = - 2 < 0, quindi concavità rivolta verso y < 0
* vertice V1(3/4, 9/8)
* zeri A(0, 0), B(3/2, 0)
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2) La richiesta parabola γ2 deve avere asse parallelo all'asse x, in quanto in simmetria assiale rispetto ad r di pendenza uno, di γ1 che ha asse parallelo all'asse y; quindi deve avere equazione di forma
* γ2 ≡ x = w - 2*(y - h)^2 ≡ y = h ± √((w - x)/2)
con la medesima apertura a = - 2 e vertice V2(w, h) simmetrico di V1 rispetto ad r.
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RISPOSTE AI QUESITI
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a1) Retta t, di pendenza uno, tangente la parabola γ1
* m(x) = 3 - 4*x = 1 ≡ x = 1/2 → y = 9/8 - 2*(1/2 - 3/4)^2 = 1 → T(1/2, 1)
* t ≡ y = 1 + (x - 1/2) ≡ y = x + 1/2
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-x%3D1%2F2%2Cy%3D9%2F8-2*%28x-3%2F4%29%5E2%5D
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a2) Con A(0, 0), T(1/2, 1), B(3/2, 0) si ha
* S(ATB) = |AB|*yT/2 = (3/2)*1/2 = 3/4
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b1) La simmetria assiale, attorno all'asse r ≡ y = x, è semplicemente lo scambio degli assi
* (x = Y) & (y = X)
quindi
* γ1 ≡ y = 9/8 - 2*(x - 3/4)^2 → γ2 ≡ x = 9/8 - 2*(y - 3/4)^2
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b2) Intersezioni
* γ1 & γ2 ≡ (y = 9/8 - 2*(x - 3/4)^2) & (x = 9/8 - 2*(y - 3/4)^2) ≡
≡ (0, 0) oppure (1, 1)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3Dx%2Cy%3D9%2F8-2*%28x-3%2F4%29%5E2%2Cx%3D9%2F8-2*%28y-3%2F4%29%5E2%5Dx%3D-1to2%2Cy%3D-1to2
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b3) Tangenti sulle intersezioni
Dal grafico si vede che il potenziale punto di tangenza è solo (1, 1), dove γ1 ha pendenza m(1) = 3 - 4*1 = - 1 e tangente
* y = 1 - (x - 1) ≡ y = 2 - x
che dà, a sistema con γ2, proprio lo stesso punto come soluzione doppia
* (y = 2 - x) & (x = 9/8 - 2*(y - 3/4)^2) ≡ (1, 1)
QED