[Risolto] Non riesco a risolvere un problema sulle formule di prostaferesi

Breve ripasso sulle formule di prostaferesi. Utilizziamo la 1^ formula di prostaferesi. Vediamo come si ottiene.

{SIN(α + β) = SIN(α)·COS(β) + SIN(β)·COS(α)

{SIN(α - β) = SIN(α)·COS(β) - SIN(β)·COS(α)

sommiamo le due identità:

SIN(α + β) + SIN(α - β) = 2·SIN(α)·COS(β)

poniamo quindi :

{α + β = p

{α - β = q

risolviamo:

[α = (p + q)/2 ∧ β = (p - q)/2]

Quindi:

SIN(p) + SIN(q) = 2·SIN((p + q)/2)·COS((p - q)/2)

Poi procediamo nel seguente modo:

COS(2·α) + SIN(8·α)--------->COS(λ) + SIN(4·λ)

avendo posto: λ = 2·α. Trasformiamo il primo termine in seno:

SIN(pi/2 - λ) + SIN(4·λ) 

poniamo        4·λ = p  e  pi/2 - λ = q

adoperiamo quindi la prima formula di prostaferesi:

SIN(4·λ) + SIN(pi/2 - λ) =

= 2·SIN((4·λ + (pi/2 - λ))/2)·COS((4·λ - (pi/2 - λ))/2)

quindi

SIN(4·λ) + SIN(pi/2 - λ) = 2·SIN((6·λ + pi)/4)·COS((10·λ - pi)/4)

quindi

SIN(4·(2·α)) + SIN(pi/2 - 2·α) = 2·SIN((6·(2·α) + pi)/4)·COS((10·(2·α) - pi)/4)

quindi

SIN(8·α) + COS(2·α) = 2·SIN(3·α + pi/4)·SIN(5·α + pi/4)

Ciao!

Per risolvere $\cos (2\alpha )+\sin (8\alpha )$ supponiamo $t=2\alpha $

quindi diventa:

$$\cos (t )+\sin (4t )$$

Possiamo convertire il coseno in seno per gli archi associati, essendo

$$\cos (t )=\sin \left(\frac{\Pi }{2} -t\right)$$

sostituendo si ha:

$$\sin \left(\frac{\Pi }{2} -t\right)+\sin (4t )$$

attraverso le formule di prostaferesi abbiamo:

$$2\sin \left(\frac{\frac{\Pi }{2}-t+4t }{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{\frac{\Pi }{2}-t-4t }{2} \right)$$

ritornando alla sostituzione iniziale $t=2\alpha $ :

$$2\sin \left(\frac{\frac{\Pi }{2}-2\alpha +8\alpha }{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{\frac{\Pi }{2}-2\alpha -8\alpha }{2} \right) $$

facendo i rispettivi calcoli algebrici, si ottiene

$$2\sin \left(\frac{\Pi }{4}+3\alpha \right) \cdot \cos \left(\frac{\Pi }{4}-5\alpha \right) $$ .