non ho capito come si risolvono

@ciao_

Devi verificare, una volta che hai sviluppato i calcoli che:

1) il coefficiente numerico di x² = coeff. numerico di y²

2) l'equazione non contenga termini xy

3) il raggio r sia positivo 

Es 19)

Non c'è bisogno di nessun calcolo. Sappiamo che l'equazione di una circonferenza di centro C(Xc, Yc) e raggio r è 

(x-Xc) ² + (y-Yc)² = r²

Quindi l'equazione 19 rappresenta una circonferenza di centro C(1,0) e raggio r = 2

@ciao_

X² + Y² - 2x - 2y - 2 = 0

Verifica delle tre condizioni:

1) coefficiente di x² è uguale al coefficiente di y²: ok

2) l'equazione non contiene termini xy: ok

3) calcolo del raggio: r= radice (4/4 + 4/4 + 2) =

       = 2 > 0 ok

C(1,1) vedi formula allegata 

r= 2 vedi formula allegata 

@ciao_

👍

Gli esercizi della foto, da 18 a 24, si risolvono rammentando una sola conoscenza (la definizione di circonferenza) ed esercitando una sola abilità (il completamento di quadrato); quindi basta ripassare queste due cose e poi applicarle agli esercizi proposti.
Per gli esercizi da 18 a 20 può essere utile rammentare anche come riconoscere che un'equazione di secondo grado in due variabili non è di circonferenza e quindi evitare la procedura del completamento di quadrato.
Per gli esercizi da 21 a 24 è utile applicare il completamento di quadrato e poi discutere la forma normale standard ottenuta.
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RIPASSI
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A) La più generale equazione di secondo grado in due variabili ha la forma normale canonica
* f(x, y) = A*x^2 + B*x*y + C*y^2 + D*x + E*y + F = 0
che non rappresenta una circonferenza nei seguenti casi.
A1) Scomponibile ≡ COPPIA DI RETTE
* f(x, y) = (a*x + b*y + c)*(p*x + q*y + r) = 0
A2) Termini di secondo grado = quadrato di un binomio ≡ PARABOLA
* f(x, y) = (U*z + V*y)^2 + D*x + E*y + F = 0 (v. es. 20a)
A3) Termini quadratici discordi (A*C < 0) ≡ IPERBOLE (v. es. 20b)
A4) Termini quadratici concordi (A*C > 0), ma con coefficienti differenti (A != C) ≡ ELLISSE (v. es. 19b)
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B) f(x, y) rappresenta la circonferenza Γ a condizione che
* manchi il termine rettangolare (B = 0)
* i termini quadratici siano concordi (A*C > 0) e con coefficienti eguali (A = C)
in tal caso l'equazione si può ridurre alla forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q
in funzione delle coordinate del centro C(a, b).
Il tipo di circonferenza dipende dal segno del termine noto
B1) q < 0: Γ è complessa con raggio immaginario;
B2) q = 0: Γ è reale, degenere sul centro, con raggio zero;
B3) q > 0: Γ è reale, non degenere, con raggio r = √q, e si scrive
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
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C) Il completamento del quadrato di due termini dei gradi uno e due nella stessa variabile è in un certo senso l'inverso dello sviluppo di
* p*(x + q)^2 = p*(x^2 + 2*q*x + q^2) = p*x^2 + 2*p*q*x + p*q^2
e consiste dei seguenti passaggi.
* a*x^2 + b*x = a*(x^2 + (b/a)*x) =
= a*((x + b/(2*a))^2 - (b/(2*a))^2) =
= a*(x + b/(2*a))^2 - b^2/(4*a)
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ESERCIZI
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18a) C(0, 0), Γ è B1
18b) C(0, 0), r = 1, Γ è B3
18c) C(0, 0), r = 2, Γ è B3
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19a) C(1, 0), r = 2, Γ è B3
19b) v. A4
19c) x^2 + y^2 - 2*x - 2*y - 2 = 0 ≡
≡ x^2 - 2*x + y^2 - 2*y - 2 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 - 1^2 + (y - 1)^2 - 1^2 - 2 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2^2
C(1, 1), r = 2, Γ è B3
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20a) v. A2
20b) v. A3
20c) come 19c
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23) k*x^2 + k*y^2 - 2*k*x + 4*y + 8 + k = 0
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Per k = 0: y = - 2 è una retta parallela all'asse x.
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Per k != 0: x^2 + y^2 - 2*x + (4/k)*y + 8/k + 1 = 0 ≡
≡ x^2 - 2*x + y^2 + (4/k)*y + 8/k + 1 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 - 1^2 + (y - 2/k)^2 - (2/k)^2 + 8/k + 1 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 + (y - 2/k)^2 = 4*(1 - 2*k)/k^2
è una circonferenza Γ di centro C(1, 2/k) e per il cui tipo vedi sub B.
B1) 4*(1 - 2*k)/k^2 < 0 ≡ k > 1/2: Γ è complessa con raggio immaginario;
B2) 4*(1 - 2*k)/k^2 = 0 ≡ k = 1/2: Γ è reale, degenere sul centro, con raggio zero;
B3) 4*(1 - 2*k)/k^2 > 0 ≡ k < 1/2: Γ è reale, non degenere, con raggio r = (2/k)*√(1 - 2*k).
NB: il risultato atteso contempla il solo caso B3.