n.295

a. 

Indichiamo con le lettere

• p = lato piccolo
• m = lato medio
• l = lato lungo

dai dati impostiamo il sistema di 3 equazioni nelle incognite p, m, l.

$ \begin{cases} m =p+1\\ l=2m\\ l+m+p= 15\\ \end{cases} $

La cui soluzione è: p = 3  ∧  m = 4  ∧  l = 8

Soluzione che soddisfa la richiesta di essere numeri naturali.

b.

Non esiste alcun triangolo con le lunghezze dei lati precedenti. La ragione è che non è soddisfatto la disequazione che la somma di due lati deve essere maggiore della lunghezza del lato rimanente.

p + m < l cioè 3 + 4 < 8. 

2p = 15

AB = 2AC

BC = AC-1

15* 2AC+AC+AC-1

16 = 4AC

AC = 4 cm

AB = 2AC = 8 cm 

BC = AC-1 = 3 cm 

siffatto triangolo non esiste perché il lato maggiore deve essere minore della somma dei rimanenti 2 (4+3 > 8 , il che non è)

Una soluzione immediata ci viene offerta dalla 1° terna pitagorica (3,4,5) e multipli 

il perimetro di un triangolo è di 24 cm e le misure dei suoi lati sono espresse da numeri naturali. Il lato più lungo è pari a quello intermedio aumentato di 2 ed il più corto differisce da quest'ultimo di 2cm. 

24 = 3b+2-2 = 3b

b= 24/3 = 8 cm

a = b+2 = 10 cm

c = b-2 = 6 cm 

Il perimetro di un triangolo è di 15 cm e le misure dei suoi lati sono espresse da numeri naturali. Il lato più lungo è il doppio di quello intermedio e il più corto differisce da quest'ultimo di 1 cm. Trova le lunghezze dei lati.

+ RIFLETTI SUL RISULTATO:

un triangolo con queste caratteristiche non esiste. Perché? Suggerisci una modifica delle condizioni sui lati in modo che la soluzione sia accettabile. 

(3 cm; 4 cm; 8 cm)

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Lato intermedio $\small = a;$

lato lungo $\small = b= 2a;$

lato corto $\small = c=a-1;$

conoscendo il perimetro:

$\small a+2a+a-1 = 15$

$\small 4a-1 = 15$

$\small  4a = 15+1$

$\small 4a = 16$

$\small \dfrac{\cancel4a}{\cancel4} = \dfrac{16}{4}$

$\small a= 4$

quindi:

lato intermedio $\small = a= 4\,cm;$

lato lungo $\small = b= 2a= 2·4 = 8\,cm;$

lato corto $\small = c=a-1 = 4-1 = 3\,cm;$

Il triangolo con queste misure non esiste poiché il lato più lungo supera la somma degli altri due lati;

la modifica da suggerire può essere, per esempio, che la somma dei lati più corti sia maggiore del lato lungo, cioè $\small a+c>8\,cm;$

oppure che il lato più lungo sia minore degli altri due lati, cioè $\small b<a+c \Longrightarrow b<4+3 \Longrightarrow b<7.$