Mi servirebbe un aiuto per questo problema

La funzione si deduce dall'equazione della circonferenza completa:

(x - 2)^2 + y^2 = 2^2

che risolta rispetto alla y fornisce l'equazione di due semicirconferenze:

y = - √(4·x - x^2) ∨ y = √(4·x - x^2)

A noi interessa quella in grassetto. (y = √(4·x - x^2))

Il generico punto P appartenente all'arco AB ha coordinate:

P [x, √(4·x - x^2)]

ove le limitazioni alla x sono: 2 ≤ x ≤ 4

L'area richiesta si ottiene dalla somma delle aree:

Α(OBC) = 1/2·2·2  = 2

Α(BCDP) = 1/2·(2 + √(4·x - x^2))·(x - 2) 

A(PAD)= 1/2·(4 - x)·√(4·x - x^2)

Quindi si arriva a scrivere:

A= √(4·x - x^2) + x  con 2 ≤ x ≤ 4

annullando la derivata: A'=0 si ottiene il max

A'=(2 - x)/√(4·x - x^2) + 1=0

in corrispondenza di x = √2 + 2

per cui si ha il max di A=√(4·(√2 + 2) - (√2 + 2)^2) + (√2 + 2)

A max=2·√2 + 2

[√2 + 2, 2·√2 + 2]

[3.414213562, 4.828427124]

Funzione rappresentata sotto:

La circonferenza di centro C(2, 0) e raggio r = 2
* Γ ≡ (x - 2)^2 + y^2 = 4
ha diametro OA, con A(4, 0), e culmina in B(2, 2). Si ha
* |AB| = 2*√2
* AB ≡ y = 4 - x
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L'arco BA è il quarto di Γ a Nord-Est
* Γ/4 ≡ ((x - 2)^2 + y^2 = 4) & (x > 2) & (y > 0)
ed ha cursore
* P(k, √(4*k - k^2)), con 2 <= k <= 4
che dista da AB
* d(k) = √((k - 4)*(√(4*k - k^2) - 2))
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L'area S di OBPA è la somma di due triangoli
* S(OBPA) = S(OBA) + S(OBP) =
= 2*r*r/2 + |AB|*d(k)/2 =
= 4 + (2*√2)*(√((k - 4)*(√(4*k - k^2) - 2)))/2 =
= 4 + √(2*(k - 4)*(√(4*k - k^2) - 2))
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La funzione da studiare è
* f(x) = y = 4 + √(2*(x - 4)*(√(4*x - x^2) - 2))
con la condizione restrittiva
* 2 <= x <= 4
che ha ovviamente due minimi f(2) = f(4) = 4 e un massimo nello zero intermedio della derivata
* f(x) <= f(2 + √2 ~= 3.414) = 2*(2 + √(3 - 2*√2)) ~= 4.828
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By*%28y-4%29*%28y-2*%282--%E2%88%9A%283-2*%E2%88%9A2%29%29%29%3D0%2Cy-4%3D%E2%88%9A%282*%28x-4%29*%28%E2%88%9A%284*x-x%5E2%29-2%29%29%5Dx%3D2to4%2Cy%3D-0.2to5