Mi servirebbe gentilmente aiuto su questo problema, riguardante calcolo di aree e volumi.

Osserviamo che y = - x^3 + kx^2 

é una famiglia di cubiche per l'origine dipendente dal parametro k

Imponiamo il passaggio per uno dei due punti, ad esempio (3,0) e - per il valore di k 

trovato - verifichiamo il passaggio per l'altro punto 

0 = - 3^3 + k * 3^2 

9k - 27 = 0

k = 27/9 = 3 

y = - x^3 + kx^2 

y = - x^3 + 3x^2

y(1) = - 1^3 + 3*1^2 = -1 + 3 = 2, Ok. 

La retta per i due punti indicati ha equazione 

(y - 2)/(x - 1) = (0-2)/(3 - 1)

y - 2 = -2/2 * (x - 1) 

y = 2 - (x - 1)

y = - x + 2 + 1

y = -x + 3 

e l'area é data infine da 

S = S_[1,3] [ (-x^3 + 3x^2) - (-x + 3) ] dx = 

= S_[1,3] ( - x^3 + 3x^2 + x - 3 ) dx = 

= [ -x^4/4 + x^3 + x^2/2 - 3x ]_[1,3] =

= ( -81/4 + 27 + 9/2 - 9) - (-1/4 + 1 + 1/2 - 3) =

= (-81 + 108 + 18 - 36)/4 - (-1+4+2 - 12)/4 =

= 9/4 - (-7/4) = 

= (9+7)/4 = 

= 16/4 = 4.

La cubica Γ in figura:
* è tangente l'asse x nell'origine, quindi ha un fattore x^2;
* è secante l'asse x in (3, 0), quindi ha un fattore (x - 3);
* ha limiti all'infinito discordi da x, quindi ha un fattore - 1;
pertanto risulta
* Γ ≡ y = - (x - 3)*x^2 = (3 - x)*x^2 = 3*x^2 - x^3
da cui
* k = + 3
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La secante s in figura:
* passa per (1, 2) e non è parallela all'asse y, quindi ha forma
** y = 2 + k*(x - 1)
* passa per (3, 0), quindi soddisfà al vincolo
** 0 = 2 + k*(3 - 1) ≡ k = - 1
pertanto risulta
* s ≡ y = 2 - (x - 1) = 3 - x
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L'area A della superficie colorata è l'integrale da uno a tre della funzione differenza
* Γ - s ≡ f(x) = 3*x^2 - x^3 - (3 - x) = - x^3 + 3*x^2 + x - 3
da cui
* F(x) = ∫ f(x)*dx = - x^4/4 + x^3 + x^2/2 - 3*x + c
* A = F(3) - F(1) =
= (- 3^4/4 + 3^3 + 3^2/2 - 3*3 + c) - (- 1^4/4 + 1^3 + 1^2/2 - 3*1 + c) =
= (9/4 + c) - (- 7/4 + c) =
= 4