Mi pote aiutare a risolvere razionalizzando il denominatore?

Foto dritta!!!

Razionalizziamo i denominatori che compaiono nell'equazione:

x/(5·x + √5)=

=x·(5·x - √5)/((5·x + √5)·(5·x - √5))=

=x·(5·x - √5)/(25·x^2 - 5)= x·(5·x - √5)/(5·(5·x^2 - 1))

--------------------

(x^2 + 5)/(5·√5·x + 5)=

=(x^2 + 5)·(5·√5·x - 5)/((5·√5·x + 5)·(5·√5·x - 5))=

=(x^2 + 5)·(5·√5·x - 5)/(125·x^2 - 25)=

=(x^2 + 5)·(5·√5·x - 5)/(25·(5·x^2 - 1))

-----------------------

x·(5·x - √5)/(5·(5·x^2 - 1)) + 1/5 = (x^2 + 5)·(5·√5·x - 5)/(25·(5·x^2 - 1))

Porto alla forma intera l'equazione definendo prima le C.E.

5·x^2 - 1 ≠ 0----> x ≠ - √5/5 ∧ x ≠ √5/5

x·(5·x - √5)·5 + 5·(5·x^2 - 1) = (x^2 + 5)·(5·√5·x - 5)

(25·x^2 - 5·√5·x) + (25·x^2 - 5) = 5·√5·x^3 - 5·x^2 + 25·√5·x - 25

50·x^2 - 5·√5·x - 5 = 5·√5·x^3 - 5·x^2 + 25·√5·x - 25

5·√5·x^3 - 5·x^2 + 25·√5·x - 25 - (50·x^2 - 5·√5·x - 5) = 0

5·√5·x^3 - 55·x^2 + 30·√5·x - 20 = 0

5·(x - √5 + 1)·(x - √5 - 1)·(√5·x - 1) = 0

x = √5/5 ∨ x = √5 - 1 ∨ x = √5 + 1

Scarto la prima!!!

razionalizziamo moltiplicando numeratore e denominatore per (5x - √5) la prima frazione  e per (5√5 x - 5) la seconda frazione, otterremo al denominatore una differenza di quadrati e le radici se ne andranno.

x / (5x + √5) + 1/5 = (x^2 + 5) /[5 √5 x + 5];

x (5x - √5) / [(5x + √5) (5x - √5)]  + 1/5 = (x^2 + 5) (5√5 x - 5) /[(5 √5 x + 5) * (5√5 x - 5)];

x (5x - √5) /(25x^2 - 5)  + 1/5 = (x^2 + 5) (5√5 x - 5) /[( 125x^2 - 25)];

x (5x - √5) /[5 (5x^2 - 1)]  + 1/5 = (x^2 + 5) (5√5 x - 5) /[25 (5x^2 - 1)];

i denominatori non si devono annullare 5x^2 - 1 ≠ 0; 

mcm = 25 * (5x^2 - 1) ;

x (5x - √5) * 5 + 5 * (5x^2 - 1)  = (x^2 + 5) (5√5 x - 5);

[(25x^2 - 5 √5 x)] + [(25x^2 - 5) ] = [ 5√5 x^3 - 5x^2 + 25√5 x - 25];

25x^2 - 5√5 x + 25x^2 - 5 - 5√5 x^3 + 5x^2 - 25√5 x + 25 = 0;

- 5√5 x^3 + 55 x^2 - 30√5 x + 20 = 0;

+ 5√5 x^3 - 55 x^2 + 30√5 x - 20 = 0;

5 (√5 x^3 - 11 x^2 + 6√5 x - 4) = 0.

Bisogna scomporre l'equazione di 3° grado...

Ciao  vedi  @lucianop