Matematica

Mi sembra che abbia già risposto:

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/costruzione-formula-risolutiva/

Come già dissi @Sentinel qualche settimana addietro, è improprio qualificare "di Hanoi" una torre con un numero di livelli che non sia 64 ed è stupido qualificare "rompicapo" le leggi di Brahma, vedi al link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/92969/
mentre quest'esercizio sulle progressioni non è niente di che.
C'è una successione di rettangoli, con dimensioni (b, h) definite in funzione di x, della quale si chiede la somma s(x, n) delle aree b(k)*h(k) dei termini con indice k da uno ad enne espressa come monomio in x e poi la valutazione del monomio per un dato valore di x.
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La figura è marcata con
* h(k) = h = 2*x
* (b(1) = 3*x) & (b(k + 1) = b(k) + 2*x)
da cui le aree a(k) = b(k)*h(k) del k-mo rettangolo sono
* a(1) = b(1)*h = 3*x*2*x = 6*x^2
* a(k + 1) = b(k + 1)*h = b(k)*h + 2*x*h = a(k) + 2*x*2*x = a(k) + 4*x^2
e ciò definisce una progressione aritmetica con
* primo termine a(1) = 6*x^2
* ragione a(k + 1) - a(k) = 4*x^2
che è x^2 volte quella p(k) puramente numerica dei coefficienti che ha
* primo termine P = 6
* ragione d = 4
* definizione ricorsiva (p(1) = P) & (p(k + 1) = p(k) + d)
* definizione non ricorsiva p(k) = P + d*(k - 1) = 6 + 4*(k - 1) = 2*(2*k + 1)
* "somma da uno ad enne" s(n) = n*(p(1) + p(n))/2 = 2*n*(n + 2)
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La richiesta "area totale" di una torre di otto piani espressa come monomio in x è il prodotto di s(8) per x^2
* A(8) = Σ [k = 1, 8] a(k) = s(8)*x^2 = (2*8*(8 + 2))*x^2 = 160*x^2
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La seconda richiesta "se, in cm, x = 2" dà
* A(8) = 160*x^2 = 160*(2 cm)^2 = 160*4 = 640 cm^2