Si considerino le seguenti funzioni: f(x)=ax2−x+b e g(x)=(ax+b)e2x−x2 Provare che, comunque siano scelti i valori di a e b in R con a=0, la funzione g ammette un massimo e un minimo assoluti. Determinare i valori di a e b in corrispondenza dei quali i grafici delle due funzioni f e g si intersecano nel punto A(2;1). Si assuma, d'ora in avanti, di avere a =1 e b=−1. Studiare le due funzioni così ottenute, verificando che il grafico di g ammette un centro di simmetria e che i grafici di f e g sono tangenti nel punto B(0;−1). Determinare inoltre l'area della regione piana S delimitata dai grafici delle funzioni f e g. Si supponga che nel riferimento Oxy le lunghezze siano espressi in metri (m). Si considerino tre fili conduttori rettilinei disposti perpendicolarmente al piano Oxy e passanti rispettivamente per i punti: P1(23;0),P2(23;1) e P3(23;−23).I tre fili sono percorsi da correnti continue di intensità i1=2,0 A, i2 e i3. Il verso di i1 è indicato in figura, mentre gli altri due versi non sono indicati.Stabilire come varia la circuitazione del campo magnetico generato dalle correnti i1,i2,i3 lungo il contorno di S, a seconda dell'intensità e del verso di i2 e i3. Si supponga, in assenza dei tre fili, che il contorno della regione S rappresenti il profilo di una spira conduttrice di resistenza R=0,20 Ω. La spira è posta all'interno di un campo magnetico uniforme di intensità B=1,5⋅10−3 T perpendicolare alla regione S. Facendo ruotare la spira intorno all'asse x con velocità angolare ωcostante, in essa si genera una corrente indotta la cui intensità massima è pari a 5,0 mA. Determinare il valore di ω.

Matematica

Si considerino le seguenti funzioni:

Provare che, comunque siano scelti i valori di e in con a, la funzione ammette un massimo e un minimo assoluti. Determinare i valori di e in corrispondenza dei quali i grafici delle due funzioni e si intersecano nel punto .
Si assuma, d'ora in avanti, di avere e . Studiare le due funzioni così ottenute, verificando che il grafico di ammette un centro di simmetria e che i grafici di e sono tangenti nel punto . Determinare inoltre l'area della regione piana delimitata dai grafici delle funzioni e .
Si supponga che nel riferimento  le lunghezze siano espressi in metri (m). Si considerino tre fili conduttori rettilinei disposti perpendicolarmente al piano  e passanti rispettivamente per i punti:  e .
I tre fili sono percorsi da correnti continue di intensità ,  e . Il verso di  è indicato in figura, mentre gli altri due versi non sono indicati.
Stabilire come varia la circuitazione del campo magnetico generato dalle correnti  lungo il contorno di , a seconda dell'intensità e del verso di  e .
Si supponga, in assenza dei tre fili, che il contorno della regione rappresenti il profilo di una spira conduttrice di resistenza . La spira è posta all'interno di un campo magnetico uniforme di intensità perpendicolare alla regione . Facendo ruotare la spira intorno all'asse con velocità angolare costante, in essa si genera una corrente indotta la cui intensità massima è pari a . Determinare il valore di .