[Risolto] Matematica

Scrivendo di parabole, di solito:
* col nome "a" s'intende la "apertura", cioè il coefficiente direttore (in questo caso a = 2);
* col nome "m" s'intende la "pendenza", cioè la derivata prima;
* mentre gli eventuali parametri si chiamano "{k, p, q, ...}".
Inoltre:
* "parabola" è femminile (data, non dato);
* "asse" è maschile (allo, non alla asse);
* i nomi di variabili sono minuscoli (x, y, k), le maiuscole sono nomi di punti;
* "ta gente" non è "tangente";
* "2 punti distanti" non è "due punti distinti".
Evidentemente non hai ancora letto il
http://www.sosmatematica.it/regolamento/
del sito. Leggilo, ti sarà utile, specie l'Art. 2.3 là dove prescrive «... italiano corretto, sia grammaticalmente sia ORTOGRAFICAMENTE.»
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In conclusione:
Data la parabola Γ di equazione
* Γ(k) ≡ y = 2*x^2 - k*x - k
di pendenza
* m(x) = 4*x - k
si chiede di determinare k in modo che la parabola Γ:
1) sia tangente all'asse x;
2) intersechi l'asse x in due punti distinti.
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Ad entrambe le richieste si risponde con la lettura delle forme equivalenti dell'equazione; i calcoli consistono nello scriverle, per poterne poi leggere le proprietà geometriche necessarie a formulare le risposte.
* Γ ≡ y = 2*x^2 - k*x - k ≡
≡ y = 2*(x^2 - (k/2)*x - k/2) ≡
≡ y = 2*(x - (k - √(k*(k + 8)))/4)*(x - (k + √(k*(k + 8)))/4) ≡
≡ y = 2*(x - k/4)^2 - k*(k + 8)/8
Da tali forme equivalenti si rilevano:
* gli zeri x = (k ± √(k*(k + 8)))/4
* il vertice V(k/4, - k*(k + 8)/8)
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RISPOSTE
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1) Γ sia tangente all'asse x.
Per avere l'asse x come tangente di vertice occorre e basta avere
* yV = - k*(k + 8)/8 = 0 ≡ (k = - 8) oppure (k = 0)
da cui
* Γ(- 8) ≡ y = 2*x^2 + 8*x + 8 ≡ y = 2*(x + 2)^2
* Γ(0) ≡ y = 2*x^2 - 0*x - 0 ≡ y = 2*x^2
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2) Γ intersechi l'asse x in due punti distinti.
Per avere zeri reali e distinti occorre e basta avere
* Δ(k) = k*(k + 8) > 0 ≡ (k < - 8) oppure (k > 0)