LIMITE

Cominciamo a riscriverlo come 

lim_n 2^(n^2) * [ (1 - 1/(n+1))^(n^2) - ( -1 + 1/(n+2))^(n^2) ] =

= lim_n  2^(n^2) * [ (1 - 1/(n+2))^((n+2)* n^2/(n+2)  +

+ (-1)^(n^2) * [ (1 - 1/(n+1))^((n+1)*n^2/(n+1)) ] = 

= lim_n  2^(n^2) * [ e^(-n^2/(n+2)) - (-1)^n * e^(-n^2/(n+1)) ]

essendo (-1)^(n^2) = (-1)^n perché n^2 é dispari se e solo se n é dispari.

Distinguiamo due casi. Se n é dispari (-1)^n = -1 e con il meno davanti troviamo

lim_n   e^(n^2 ln 2 ) * [ e^(-n^2/(n+2)) + e^(-n^2/(n+1)) ]

e^(n^2 ln 2 - n^2 /(n+k) ) = e^[n^2 (ln 2 - 1/(n+k)) ] ~ e^(n^2 ln 2) -> +oo

Il nostro limite é la somma di due addendi che tendono a +oo e quindi anche il suo

limite é +oo.

Se invece n é pari si presenta il 

lim_n   e^(n^2 ln 2 ) * [ e^(-n^2/(n+2)) - e^(-n^2/(n+1)) ] =

= lim_n  e^(n^2 ln 2 )*e^(-n^2/(n+1)) [ e^(n^2/(n+1) - n^2/(n+2)) - 1] = 

= lim_n e^[n^2 (ln 2 - 1/(n+1))] * [ e^(n^2*(n+2-n-1)/(n^2+3n+2)) - 1 ] = 

= lim_n  e^(n^2 ln 2) * lim_n e^(n^2/(n^2+3n+2) - 1) = 

= "+oo * (e ^1 - 1)" = "+oo*(e-1)" = +oo    essendo e > 1

le due sottosuccessioni divergono entrambe positivamente e così la successione generale.

il segno meno posto davanti alla parentesi cambia i segni al suo interno , per cui :

(2-2/(n+1))^n^2 -(-2+2/(n+1)^n^2

diventa

(2-2/(n+1))^n^2 +(2-2/(n+1))^n^2

...ambo i termini tendono ad infinito e la loro somma non può che tendere ad infinito!!