Limite

Le due parabole hanno equazioni del tipo:

y = Α·x^2 + Β·x

Parabola 1

{2·a + 3 = Α·(a + 2)^2 + Β·(a + 2)

{- Β/(2·Α) = a + 2

(passa per il vertice [a + 2, 2·a + 3] che sta sul suo asse verticale)

Risolvo ed ottengo:

Α = - (2·a + 3)/(a + 2)^2 ∧ Β = 2·(2·a + 3)/(a + 2) ∧ Α ≠ 0

Quindi:

y = (- (2·a + 3)/(a + 2)^2)·x^2 + 2·(2·a + 3)/(a + 2)·x

Parabola 2

{a + 2 = Α·(a + 1)^2 + Β·(a + 1)

{- Β/(2·Α) = a + 1

(passa per il vertice [a + 1, a + 2] che sta sul suo asse verticale)

Risolvo ed ottengo:

Α = - (a + 2)/(a + 1)^2 ∧ Β = 2·(a + 2)/(a + 1) ∧ Α ≠ 0

Quindi:

y = (- (a + 2)/(a + 1)^2)·x^2 + 2·(a + 2)/(a + 1)·x

Calcolo A1

{y = x·(2·(a + 2) - x)·(2·a + 3)/(a + 2)^2

{y = 0

[x = 0 ∧ y = 0, x = 2·(a + 2) ∧ y = 0]

A1=2/3·ABS(2·(a + 2))·ABS(2·a + 3)

Calcolo A2

{y = x·(a + 2)·(2·(a + 1) - x)/(a + 1)^2

{y = 0

risolvo ed ottengo:

[x = 0 ∧ y = 0, x = 2·(a + 1) ∧ y = 0]

A2=2/3·ABS(2·(a + 1))·ABS(a + 2)

A1/A2=

=2/3·ABS(2·(a + 2))·ABS(2·a + 3)/(2/3·ABS(2·(a + 1))·ABS(a + 2)) =

=ABS((2·a + 3)/(a + 1))

Per a → +∞

LIM((2·a + 3)/(a + 1)) = 2

a → +∞

Equazione della parabola come traslata della fondamentale

y - yV = a(x - xV)^2

passaggio per l'origine

- yV = a (-xV)^2

da cui

a = - yV/xV^2

Intersezioni con l'asse x

- yV/(-yV/xV^2) = (x - xV^2)

xV^2 = x^2 - 2xV x + xV^2

x(x - 2xV) = 0 => x = 0 e x = 2xV

la loro distanza é quindi

B = 2|xV|

Sp = 2/3 |yV| * 2/3 |xV| = 4/3 |xV yV|

L'espressione A1/A2 é quindi

|xV1 yV1|/|xV2 yV2| = |(a+2)(2a+3)/(a+1)(a+2)| = |(2a+3)/(a+1))

ed il suo limite é

| lim_a->+oo (2 + 3/a)/(1 + 1/a)| = |2| = 2