Lagrange con parametri

Calcolo parametri a e b:

y=

{(3·x - 2·a)/(x + b)   per 0 ≤ x ≤ 1

{e^(x - 1)    per 1 < x ≤ 2

y'=

{(2·a + 3·b)/(x + b)^2   per 0 ≤ x ≤ 1

{e^(x - 1)    per 1 < x ≤ 2

Per la continuità in x=1 della funzione y=f(x) :

(3·1 - 2·a)/(1 + b) = (3 - 2·a)/(b + 1)

LIM(e^(x - 1)) = 1

x---> 1+

deve essere:

(3 - 2·a)/(b + 1) = 1

Per la continuità in x=1 della derivata y'=f'(x), analogamente deve essere:

(2·a + 3·b)/(b + 1)^2 = 1

Il sistema delle due ultime equazioni in grassetto fornisce soluzione:

[a = 1/2 ∧ b = 1]

Quindi abbiamo la funzione definita a tratti:

y=

{(3·x - 1)/(x + 1)   per 0 ≤ x ≤ 1

{e^(x - 1)    per 1 < x ≤ 2

definita e continua in tutti i punti dell'intervallo: 0 ≤ x ≤ 2, assieme alla sua derivata:

y'=

{4/(x + 1)^2  per 0 ≤ x ≤ 1

{e^(x - 1)    per 1 < x ≤ 2

Definita e continua in 0 < x < 2

per cui è applicabile il Th di Lagrange.

Le coordinate dei due estremi sono:

[0, -1]

[2, e]

per cui il rapporto incrementale vale:

Δy/Δx = (e + 1)/2

ed il Th di Lagrange assicura almeno un punto interno all'intervallo considerato per cui la derivata è pari al valore di tale rapporto.