La comune perpendicolare

Problema:

Date due rette nello spazio $S: \{x-y-1=0, y-z=0\}$ e $R: \{2x+y+1=0, x+z=0\}$, trovare la comune perpendicolare. 

Soluzione:

Praticamente è necessario trovare una retta che passa per due punti, uno su S e uno su R, che sia perpendicolare a entrambe le rette date. 

Per prima cosa conviene individuare i vettori direttori della retta, ciò può essere fatto passando alla forma parametrica.

Lascio i calcoli a te, se hai dubbi chiedi pure.

$S: (1,0,0)+Span \{ (1,1,1) \}$

$R: (0,-1,0)+Span\{(-1,2,1)\}$

La direzione perpendicolare a entrambe le rette si trova con il prodotto vettoriale delle direzioni. 

$(1,1,1) \times (-1,2,1)=(-1, -2, 3)$

Adesso bisogna prendere due punti, uno su $R$ e uno su $S$, tali per cui la retta passante per questi due punti è parallela alla direzione perpendicolare a $R$ e $S$.

Si costruisce quindi il vettore $\vec{PQ}$, ove $P=( 1+t, t, t) \in S$ e $Q=(-s, -1+2s, s) \in R$.

$\vec{PQ}=Q-P=(-1-t-s, -1+2s-t, s-t)=k(-1,-2,-3)$

Si ottiene il sistema $\{1+t+s=k, 2s+2k-t=1, s-t=-3k\}$, la cui soluzione è $(t,s,k)=(-2,-\frac{1}{4}, -\frac{3}{4})$.

Si fissa quindi il punto $P=(-1,-2,-2) \in S$ e si dispiega la retta in direzione $(-1,-2,-3)$.

La retta richiesta è dunque, se non ho sbagliato i conti, $r: (-1,-2,-2)+Span\{ (1,2,3) \}$.

Confronto fra soluzioni apprentemente diverse

In geometria analitica, una stessa retta può essere scritta in infiniti modi diversi sia in forma parametrica che cartesiana.

La soluzione di LucianoP e la mia sono esattamente la stessa retta.

Confrontiamo le due espressioni parametriche trovate:

La mia :
x = 2/7 - k, y = -5/7 - 2k, z = -5/7 + 3k
quella di LucianoP
x = k, y = -9/7 + 2k, z = 1/7- 3k

Perché sono uguali?

Direzione: I vettori sono
(-1, -2, 3) e (1, 2, -3). Essi sono paralleli (cambia solo il verso).
Punti: Se nella soluzione di LucianoP sostituisci
k = 2/7, si ottiene:

x = 2/7

y = -9/7 + 2(2/7) = - 5/7

z = 1/7 - 3(2/7) = - 5/7
Abbiamo esattamente il punto P della mia soluzione

Quindi le due rette passano per lo stesso punto e hanno la stessa direzione: sono la stessa retta.

Il confronto tra le due forme cartesiane

Una retta nello spazio è l’intersezione di due piani. Ma esistono infiniti piani che passano per quella retta (immagina le pagine di un libro che si incontrano sulla rilegatura).

La mia: 14x -7y - 9=0 21x + 7z - 1=0 quella di LucianoP 5x - 4y - z - 5 = 0 4x + y + 2z + 1 = 0

Sostituendo le coordinate del punto P(2/7;-5/7; -5/7) nelle equazioni di LucianoP, si capisce che funzionano perfettamente (0=0)

Se si sommano le due equazioni di LucianoP:
(5x-4y-z-5) + (4x+y+2z+1) = 9x - 3y + z - 4 = 0. Questo è un altro piano che contiene la stessa retta. I miei piani sono stati ricavati direttamente isolando
x, mentre quegli altri sono stati ricavati usando la condizione di appartenenza alle rette
S e R. I due sistemi descrivono lo stesso “spigolo” nello spazio.
Nessuno dei due sbaglia. 

Concludendo:

La soluzione di LucianoP è molto elegante perché usa i fasci di piani (piano per S parallelo alla direzione perpendicolare). È un metodo tipico da esame.
La mia soluzione è meno accademica ma forse è più intuitiva perché trova prima i punti di contatto e poi unisce i puntini.