Determina i punti dell'iperbole $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ che formano con i fuochi un triangolo di area 12 .
Grazie
Determina i punti dell'iperbole $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ che formano con i fuochi un triangolo di area 12 .
Grazie
72
punti
Livello 1
L'iperbole
* Γ ≡ x^2/4 - y^2/12 = 1
ha i fuochi sull'asse x perciò ogni retta y = h ha con Γ due intersezioni reali e, per la simmetria quadrantale, i punti su Γ che formano un triangolo di area S assegnata con qualsiasi base b > 0 sull'asse x sono quattro: due su y = h e due su y = - h; cioè
* (x^2/4 - y^2/12 = 1) & (y^2 = h^2) ≡
≡ (± √(h^2/3 + 4), ± h)
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Assegnando
* S = b*h/2 = 12 ≡ h = 24/b
* b = 2*c = 2*√(4 + 12) = 8
si ha
* h = 24/8 = 3
e i punti
* (± √(3^2/3 + 4), ± 3) = (± √7, ± 3)
57798
punti
Genius I
c= semidistanza focale = radice (4+12) = 4
2c= 8 = base del triangolo
P(x;y) punto del primo quadrante appartenente alla conica
Imponendo la condizione richiesta si ricava
8*y/2 = 12
y=3
Per sostituzione nell'equazione della conica si ricava
x=±radice (7)
Per simmetria determini i restanti punti
77016
punti
Genius II