Iperbole

x^2/(4·k^2 - 1) - y^2/(k - 3) = 1

Rappresenta un'ellisse del tipo:

x^2/a^2+y^2/b^2=1

se risulta:

{4·k^2 - 1 > 0

{k - 3 < 0

Quindi se:

{k < - 1/2 ∨ k > 1/2

{k < 3

soluzione: [k < - 1/2, 1/2 < k < 3]

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x^2/(4·k^2 - 1) - y^2/(k - 3) = 1

rappresenta un'iperbole del tipo:

x^2/a^2-y^2/b^2=1

quindi con i fuochi sull'asse delle x

se risulta:

{4·k^2 - 1 > 0

{k - 3 > 0

quindi se:  [k > 3]

---------------------------------------

x^2/(4·k^2 - 1) - y^2/(k - 3) = 1

rappresenta un'iperbole del tipo:

x^2/a^2-y^2/b^2= -1

quindi con i fuochi sull'asse delle y

se risulta:

{4·k^2 - 1 < 0

{k - 3 < 0

Quindi soluzione: [- 1/2 < k < 1/2]

-------------------------------------------

x^2/(4·k^2 - 1) - y^2/(k - 3) = 1

rappresenta un'iperbole se:

[k > 3] ∨ [- 1/2 < k < 1/2] =

=[- 1/2 < k < 1/2 ∨ k > 3]

(punto b richiesto)

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x^2/(4·k^2 - 1) - y^2/(k - 3) = 1

rappresenta un'iperbole con i fuochi sull'asse delle y e che ha distanza focale

2·c = 4----->c = 2

se: c^2 = a^2 + b^2

2^2 = (1 - 4·k^2) + (3 - k)

4 = - 4·k^2 - k + 4----> 4·k^2 + k = 0---> k·(4·k + 1) = 0

k = - 1/4 ∨ k = 0

entrambe accettabili perché appartenenti all'intervallo: - 1/2 < k < 1/2

Per avere i fuochi sull'asse y l'equazione deve essere del tipo

x^2/a^2 - y^2/b^2 = - 1

Detti P e Q i denominatori

x^2/P - y^2/Q = 1

si trasforma in quella richiesta se P e Q sono entrambi negativi;  infatti

x^2/(-|P|) - y^2/(-|Q|) = 1

equivale a

- x^2/|P| + y^2/|Q| = 1

x^2/|P| - y^2/|Q| = -1

x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1.

Allora dal sistema

{ 4k^2 - 1 < 0

{ k - 3 < 0

scaturisce

(- 1/2 < k < 1/2) & (k < 3) ovvero -1/2 < k < 1/2

Deve quindi risultare 

2c = 4 => c = 2 => c^2 = a^2 + b^2 = 4

ovvero

(1 - 4k^2 + 3 - k) = 4

- 4k^2 - k = 4 - 1 - 3 = 0

- k(4k + 1) = 0

k = -1/4 V k = 0

entrambi accettabili perché compresi fra -1/2 e 1/2.