Sia L un operatore normale. Mostrare che l’inviluppo convesso dello spettro di L coincide con il suo campo numerico.
Sia L un operatore normale. Mostrare che l’inviluppo convesso dello spettro di L coincide con il suo campo numerico.
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Livello 6
Mmmh, non penso sia vero. Prendi la rotazione antioraria di angolo $\frac{2}{3}\pi$ e di asse $e_1$ con $\{e_1,e_2,e_3\}$ base canonica di $\mathbb{R}^3$. Adesso consideralo come operatore in $\mathbb{C}^3$: è unitario e quindi normale. Chiaramente ha spettro ${1,e^{\frac{2}{3}\pi i}, e^{-\frac{2}{3}\pi i}}$ che è tutto contenuto nel triangolo che ha questi punti come vertici e che è l'inviluppo convesso dell'insieme.
127
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Livello 1
Ripensandoci, mancano molti dettagli. Normale rispetto a che prodotto hermitiano? Siamo in dimensione finita o infinita?
@whitelite, purtroppo non ho ancora affrontato gli inviluppi convessi, ma ero curiosa di sapere come funzionano. Questa domanda mi è stata posta da GPT, dato che gli ho chiesto di interrogarmi sul programma di geometria I (allegandogli vari manuali), e mi ha incuriosito. Quindi l'ho riportata qui per vedere la soluzione. Comunque, credo che si tratti di una situazione in dimensione finita e che l'operatore sia normale rispetto a un prodotto hermitiano generale definito da un H generico.
Ti consiglio di non affidarti a Chat GPT per ripassare queste cose, soprattutto perchè rischi di lasciarti convincere quando commette errori grossolani come questo. Essenzialmente ti ha chiesto: mostra che esiste un (in realtà infiniti) polinomio non banale che ha infinite radici distinte. Anzi, peggio! Che ha tutti i complessi come radici.
@whitelite ho notato, purtroppo non sembra affidabile neanche per farsi fare domande ')